関数 $y = x^2 - 2x$ のグラフについて、傾きが4であるような接線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = x^2 - 2x$ のグラフについて、傾きが4であるような接線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = x^2 - 2x$ を微分して、導関数を求めます。

導関数は、グラフ上の各点における接線の傾きを表します。

$y' = \frac{dy}{dx} = 2x - 2$

次に、接線の傾きが4であるという条件から、

$2x - 2 = 4$

という方程式を解いて、接点の $x$ 座標を求めます。

$2x = 6$

$x = 3$

接点の $x$ 座標が3であるとき、元の関数に代入して、接点の $y$ 座標を求めます。

$y = (3)^2 - 2(3) = 9 - 6 = 3$

したがって、接点の座標は $(3, 3)$ です。

傾きが4で、点 $(3, 3)$ を通る直線の方程式を求めます。

直線の式は一般的に $y = mx + b$ で表され、ここでは $m=4$ です。

$3 = 4(3) + b$

$3 = 12 + b$

$b = 3 - 12 = -9$

したがって、接線の方程式は $y = 4x - 9$ です。

3. 最終的な答え

$y = 4x - 9$