問題の中から、次の3つの定積分を計算します。

問題の中から、次の3つの定積分を計算します。

(6) $\int_{0}^{2} \frac{x}{(1+x^2)^2} dx$

(7) $\int_{0}^{2} x \log(x^2+1) dx$

(8) $\int_{1}^{2} x e^{x^2} dx$

(6) の解き方

1. 置換積分を行います。$u = 1+x^2$ とすると、$du = 2x dx$ となります。したがって、$x dx = \frac{1}{2} du$ です。

2. 積分の範囲を変更します。$x=0$ のとき、$u = 1+0^2 = 1$ であり、$x=2$ のとき、$u = 1+2^2 = 5$ となります。

3. 積分を書き換えて計算します。

$\int_{0}^{2} \frac{x}{(1+x^2)^2} dx = \int_{1}^{5} \frac{1}{2u^2} du = \frac{1}{2} \int_{1}^{5} u^{-2} du$

$= \frac{1}{2} [-u^{-1}]_{1}^{5} = \frac{1}{2} [-\frac{1}{u}]_{1}^{5} = \frac{1}{2} (-\frac{1}{5} - (-1)) = \frac{1}{2} (1 - \frac{1}{5}) = \frac{1}{2} (\frac{4}{5}) = \frac{2}{5}$

(6) の答え

$\frac{2}{5}$

(7) の解き方

1. 部分積分を行います。$u = \log(x^2+1)$, $dv = x dx$ とすると、$du = \frac{2x}{x^2+1} dx$, $v = \frac{x^2}{2}$ となります。

2. 部分積分の公式 $\int u dv = uv - \int v du$ を適用します。

$\int_{0}^{2} x \log(x^2+1) dx = [\frac{x^2}{2} \log(x^2+1)]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{x^2}{2} \cdot \frac{2x}{x^2+1} dx$

$= [\frac{x^2}{2} \log(x^2+1)]_{0}^{2} - \int_{0}^{2} \frac{x^3}{x^2+1} dx$

3. 積分を計算します。

まず、第一項を計算します。

$[\frac{x^2}{2} \log(x^2+1)]_{0}^{2} = \frac{2^2}{2} \log(2^2+1) - \frac{0^2}{2} \log(0^2+1) = 2 \log(5) - 0 = 2 \log(5)$

次に、第二項を計算します。$\frac{x^3}{x^2+1} = x - \frac{x}{x^2+1}$ であるため、

$\int_{0}^{2} \frac{x^3}{x^2+1} dx = \int_{0}^{2} (x - \frac{x}{x^2+1}) dx = [\frac{x^2}{2} - \frac{1}{2} \log(x^2+1)]_{0}^{2}$

$= (\frac{2^2}{2} - \frac{1}{2} \log(2^2+1)) - (\frac{0^2}{2} - \frac{1}{2} \log(0^2+1)) = (2 - \frac{1}{2} \log(5)) - (0 - 0) = 2 - \frac{1}{2} \log(5)$

したがって、

$\int_{0}^{2} x \log(x^2+1) dx = 2 \log(5) - (2 - \frac{1}{2} \log(5)) = 2 \log(5) - 2 + \frac{1}{2} \log(5) = \frac{5}{2} \log(5) - 2$

(7) の答え

$\frac{5}{2} \log(5) - 2$

(8) の解き方

1. 置換積分を行います。$u = x^2$ とすると、$du = 2x dx$ となります。したがって、$x dx = \frac{1}{2} du$ です。

2. 積分の範囲を変更します。$x=1$ のとき、$u = 1^2 = 1$ であり、$x=2$ のとき、$u = 2^2 = 4$ となります。

3. 積分を書き換えて計算します。

$\int_{1}^{2} x e^{x^2} dx = \int_{1}^{4} \frac{1}{2} e^{u} du = \frac{1}{2} [e^u]_{1}^{4} = \frac{1}{2} (e^4 - e^1) = \frac{1}{2} (e^4 - e)$

(8) の答え

$\frac{e^4 - e}{2}$