合成関数の微分を用いて、$z_u = \frac{\partial z}{\partial u}$ と $z_v = \frac{\partial z}{\partial v}$ を求める問題です。 (1) $z = xy^2 + x^2y$, $x = u+v$, $y = u-v$ (2) $z = \sin(x-y)$, $x = u^2+v^2$, $y = 2uv$

1. 問題の内容

合成関数の微分を用いて、$z_u = \frac{\partial z}{\partial u}$ と $z_v = \frac{\partial z}{\partial v}$ を求める問題です。

(1) $z = xy^2 + x^2y$, $x = u+v$, $y = u-v$

(2) $z = \sin(x-y)$, $x = u^2+v^2$, $y = 2uv$

2. 解き方の手順

(1) $z = xy^2 + x^2y$, $x = u+v$, $y = u-v$

まず、$z_u$ を計算します。合成関数の微分より、

$z_u = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u}$

各偏微分を計算します。

$\frac{\partial z}{\partial x} = y^2 + 2xy$

$\frac{\partial z}{\partial y} = 2xy + x^2$

$\frac{\partial x}{\partial u} = 1$

$\frac{\partial y}{\partial u} = 1$

これらを代入して、

$z_u = (y^2 + 2xy)(1) + (2xy + x^2)(1) = y^2 + 4xy + x^2 = (x+y)^2$

ここで、$x = u+v$ と $y = u-v$ を代入すると、$x+y = (u+v)+(u-v) = 2u$ なので、

$z_u = (2u)^2 = 4u^2$

次に、$z_v$ を計算します。

$z_v = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v}$

各偏微分を計算します。

$\frac{\partial x}{\partial v} = 1$

$\frac{\partial y}{\partial v} = -1$

これらを代入して、

$z_v = (y^2 + 2xy)(1) + (2xy + x^2)(-1) = y^2 + 2xy - 2xy - x^2 = y^2 - x^2 = (y+x)(y-x)$

ここで、$x = u+v$ と $y = u-v$ を代入すると、$x+y = 2u$ と $y-x = (u-v)-(u+v) = -2v$ なので、

$z_v = (2u)(-2v) = -4uv$

(2) $z = \sin(x-y)$, $x = u^2+v^2$, $y = 2uv$

$z_u = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial u}$

$\frac{\partial z}{\partial x} = \cos(x-y)$

$\frac{\partial z}{\partial y} = -\cos(x-y)$

$\frac{\partial x}{\partial u} = 2u$

$\frac{\partial y}{\partial u} = 2v$

これらを代入して、

$z_u = \cos(x-y)(2u) - \cos(x-y)(2v) = 2(u-v)\cos(x-y)$

ここで、$x = u^2+v^2$ と $y = 2uv$ を代入すると、$x-y = u^2+v^2-2uv = (u-v)^2$ なので、

$z_u = 2(u-v)\cos((u-v)^2)$

次に、$z_v$ を計算します。

$z_v = \frac{\partial z}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v}$

$\frac{\partial x}{\partial v} = 2v$

$\frac{\partial y}{\partial v} = 2u$

これらを代入して、

$z_v = \cos(x-y)(2v) - \cos(x-y)(2u) = 2(v-u)\cos(x-y)$

ここで、$x = u^2+v^2$ と $y = 2uv$ を代入すると、$x-y = (u-v)^2$ なので、

$z_v = 2(v-u)\cos((u-v)^2) = -2(u-v)\cos((u-v)^2)$

3. 最終的な答え

(1) $z_u = 4u^2$, $z_v = -4uv$

(2) $z_u = 2(u-v)\cos((u-v)^2)$, $z_v = -2(u-v)\cos((u-v)^2)$