広義積分 $I_n = \int_0^{\pi} \frac{\sin(nx)}{\sin x} dx$ (ここで $n = 0, 1, 2, 3, \dots$)について、以下の問いに答える。 1) 広義積分 $I_n$ が収束することを示す。 2) $I_0, I_1, I_2, I_3$ を求める。 3) $I_{n+2} - I_n$ を求める。 4) $I_n$ を求める。ただし、数学的帰納法は不要である。

1. 問題の内容

広義積分 $I_n = \int_0^{\pi} \frac{\sin(nx)}{\sin x} dx$ (ここで $n = 0, 1, 2, 3, \dots$)について、以下の問いに答える。

1) 広義積分 $I_n$ が収束することを示す。

2) $I_0, I_1, I_2, I_3$ を求める。

3) $I_{n+2} - I_n$ を求める。

4) $I_n$ を求める。ただし、数学的帰納法は不要である。

2. 解き方の手順

1) 広義積分の収束性

$x = 0$ で $\frac{\sin(nx)}{\sin x}$ が不定形になる可能性がある。そこで、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin(nx)}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{n \cos(nx)}{\cos x} = n$ である。したがって、被積分関数は $x=0$ で連続に拡張でき、積分区間 $[0, \pi]$ で有界である。よって、広義積分 $I_n$ は収束する。

2) $I_0, I_1, I_2, I_3$ の計算

$I_0 = \int_0^{\pi} \frac{\sin(0)}{\sin x} dx = \int_0^{\pi} 0 dx = 0$

$I_1 = \int_0^{\pi} \frac{\sin(x)}{\sin x} dx = \int_0^{\pi} 1 dx = [x]_0^{\pi} = \pi$

$I_2 = \int_0^{\pi} \frac{\sin(2x)}{\sin x} dx = \int_0^{\pi} \frac{2\sin x \cos x}{\sin x} dx = \int_0^{\pi} 2\cos x dx = [2\sin x]_0^{\pi} = 2\sin(\pi) - 2\sin(0) = 0$

$I_3 = \int_0^{\pi} \frac{\sin(3x)}{\sin x} dx = \int_0^{\pi} \frac{3\sin x - 4\sin^3 x}{\sin x} dx = \int_0^{\pi} (3 - 4\sin^2 x) dx = \int_0^{\pi} (3 - 4 \cdot \frac{1 - \cos(2x)}{2}) dx = \int_0^{\pi} (3 - 2 + 2\cos(2x)) dx = \int_0^{\pi} (1 + 2\cos(2x)) dx = [x + \sin(2x)]_0^{\pi} = (\pi + \sin(2\pi)) - (0 + \sin(0)) = \pi$

3) $I_{n+2} - I_n$ の計算

$I_{n+2} - I_n = \int_0^{\pi} \frac{\sin((n+2)x) - \sin(nx)}{\sin x} dx$

三角関数の和積の公式より $\sin A - \sin B = 2\cos(\frac{A+B}{2})\sin(\frac{A-B}{2})$ を用いると、

$\sin((n+2)x) - \sin(nx) = 2\cos((n+1)x)\sin(x)$

よって、

$I_{n+2} - I_n = \int_0^{\pi} \frac{2\cos((n+1)x)\sin(x)}{\sin x} dx = \int_0^{\pi} 2\cos((n+1)x) dx = [\frac{2}{n+1}\sin((n+1)x)]_0^{\pi} = \frac{2}{n+1}(\sin((n+1)\pi) - \sin(0)) = 0$

4) $I_n$ の計算

$I_{n+2} - I_n = 0$ より、$I_{n+2} = I_n$ である。

よって、$I_n$ は $n$ が偶数か奇数かで値が決まる。

$I_0 = 0, I_2 = 0$ より、$n$ が偶数のとき $I_n = 0$

$I_1 = \pi, I_3 = \pi$ より、$n$ が奇数のとき $I_n = \pi$

したがって、

$I_n = \begin{cases} 0 & (n \text{ が偶数のとき}) \\ \pi & (n \text{ が奇数のとき}) \end{cases}$

3. 最終的な答え

1) 広義積分 $I_n$ は収束する。

2) $I_0 = 0, I_1 = \pi, I_2 = 0, I_3 = \pi$

3) $I_{n+2} - I_n = 0$

4) $I_n = \begin{cases} 0 & (n \text{ が偶数のとき}) \\ \pi & (n \text{ が奇数のとき}) \end{cases}$