曲線 $y = x^2 + 2x + 1$ 上の点 (1, 0) から引かれた接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2 + 2x + 1$ 上の点 (1, 0) から引かれた接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた曲線 $y = x^2 + 2x + 1$ を微分して、接線の傾きを求めます。

$y' = 2x + 2$

次に、接点を $(t, t^2 + 2t + 1)$ とします。この点における接線の傾きは $2t + 2$ です。

接線の方程式は、点 $(t, t^2 + 2t + 1)$ を通り傾きが $2t + 2$ の直線なので、

$y - (t^2 + 2t + 1) = (2t + 2)(x - t)$

$y = (2t + 2)x - 2t^2 - 2t + t^2 + 2t + 1$

$y = (2t + 2)x - t^2 + 1$

この接線が点 (1, 0) を通るので、代入すると、

$0 = (2t + 2)(1) - t^2 + 1$

$0 = 2t + 2 - t^2 + 1$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

$(t - 3)(t + 1) = 0$

$t = 3$ または $t = -1$

(i) $t = 3$ のとき、接点の座標は $(3, 3^2 + 2(3) + 1) = (3, 9 + 6 + 1) = (3, 16)$。

接線の方程式は、$y = (2(3) + 2)x - 3^2 + 1 = 8x - 9 + 1 = 8x - 8$。

(ii) $t = -1$ のとき、接点の座標は $(-1, (-1)^2 + 2(-1) + 1) = (-1, 1 - 2 + 1) = (-1, 0)$。

接線の方程式は、$y = (2(-1) + 2)x - (-1)^2 + 1 = 0x - 1 + 1 = 0$。つまり $y = 0$。

したがって、接線の方程式が $8x - 8$ のとき、接点は (3, 16)であり、接線の方程式が $y = 0$ のとき、接点は (-1, 0)である。

3. 最終的な答え

ア: $8x - 8$

イ: $(3, 16)$

ウ: $y = 0$

エ: $(-1, 0)$