問題(17)は、関数 $(x^2+2)e^x$ のマクローリン展開における、$x^5$ の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

問題(17)は、関数 $(x^2+2)e^x$ のマクローリン展開における、$x^5$ の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数をべき級数で表現する方法です。

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n$

ここで、$e^x$のマクローリン展開は次の通りです。

$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + ...$

したがって、$(x^2+2)e^x$ は次のようになります。

$(x^2+2)e^x = (x^2+2)(1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^5}{5!} + ...)$

$= x^2(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + ... )+ 2(1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6} + \frac{x^4}{24} + \frac{x^5}{120} + ...)$

$= (x^2 + x^3 + \frac{x^4}{2} + \frac{x^5}{6} + ...) + (2 + 2x + x^2 + \frac{x^3}{3} + \frac{x^4}{12} + \frac{x^5}{60} + ...)$

$= 2 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3 + \frac{7}{12}x^4 + \frac{11}{60}x^5 + ...$

$x^5$ の係数は $\frac{1}{6} + \frac{2}{120} = \frac{1}{6} + \frac{1}{60} = \frac{10}{60} + \frac{1}{60} = \frac{11}{60}$

3. 最終的な答え

$\frac{11}{60}$