(1) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $2\sin\theta + \sqrt{3} = 0$ を満たす $\theta$ の値を求め、不等式 $\tan\theta \ge -\frac{1}{\sqrt{3}}$ を満たす $\theta$ の値の範囲を求める。 (2) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\cos 2\theta + \cos \theta \le 0$ を満たす $\theta$ の値の範囲を求め、不等式 $\sin 2\theta + \sin \theta < 0$ を満たす $\theta$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

(1) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、方程式 $2\sin\theta + \sqrt{3} = 0$ を満たす $\theta$ の値を求め、不等式 $\tan\theta \ge -\frac{1}{\sqrt{3}}$ を満たす $\theta$ の値の範囲を求める。

(2) $0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\cos 2\theta + \cos \theta \le 0$ を満たす $\theta$ の値の範囲を求め、不等式 $\sin 2\theta + \sin \theta < 0$ を満たす $\theta$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1)

方程式 $2\sin\theta + \sqrt{3} = 0$ より、$\sin\theta = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる。

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲でこれを満たす $\theta$ は、$\theta = \frac{4}{3}\pi, \frac{5}{3}\pi$ である。

不等式 $\tan\theta \ge -\frac{1}{\sqrt{3}}$ を解く。

$\tan\theta = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{5}{6}\pi, \frac{11}{6}\pi$ である。

$0 \le \theta < 2\pi$ の範囲で $\tan\theta \ge -\frac{1}{\sqrt{3}}$ を満たす $\theta$ の範囲は、

$0 \le \theta < \frac{\pi}{2}, \frac{5}{6}\pi \le \theta < \frac{3}{2}\pi, \frac{11}{6}\pi \le \theta < 2\pi$ である。

(2)

不等式 $\cos 2\theta + \cos \theta \le 0$ を解く。

$\cos 2\theta = 2\cos^2\theta - 1$ より、$2\cos^2\theta - 1 + \cos\theta \le 0$

$2\cos^2\theta + \cos\theta - 1 \le 0$

$(2\cos\theta - 1)(\cos\theta + 1) \le 0$

$-1 \le \cos\theta \le \frac{1}{2}$

$\cos\theta = -1$ のとき $\theta = \pi$

$\cos\theta = \frac{1}{2}$ のとき $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5}{3}\pi$

したがって、$\frac{\pi}{3} \le \theta \le \pi \cup \pi \le \theta \le \frac{5}{3}\pi$

まとめて $\frac{\pi}{3} \le \theta \le \frac{5}{3}\pi$

不等式 $\sin 2\theta + \sin \theta < 0$ を解く。

$2\sin\theta\cos\theta + \sin\theta < 0$

$\sin\theta(2\cos\theta + 1) < 0$

(i) $\sin\theta > 0$ かつ $2\cos\theta + 1 < 0$ のとき、

$\sin\theta > 0$ より $0 < \theta < \pi$

$\cos\theta < -\frac{1}{2}$ より $\frac{2}{3}\pi < \theta < \frac{4}{3}\pi$

よって、$\frac{2}{3}\pi < \theta < \pi$

(ii) $\sin\theta < 0$ かつ $2\cos\theta + 1 > 0$ のとき、

$\sin\theta < 0$ より $\pi < \theta < 2\pi$

$\cos\theta > -\frac{1}{2}$ より $0 \le \theta < \frac{2}{3}\pi \cup \frac{4}{3}\pi < \theta < 2\pi$

よって、$\frac{4}{3}\pi < \theta < 2\pi$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{4}{3}\pi, \frac{5}{3}\pi$

$0 \le \theta < \frac{1}{2}\pi, \frac{5}{6}\pi \le \theta < \frac{3}{2}\pi, \frac{11}{6}\pi \le \theta < 2\pi$

(2) $\frac{1}{3}\pi \le \theta \le \frac{5}{3}\pi$

$\frac{2}{3}\pi < \theta < \pi, \frac{4}{3}\pi < \theta < 2\pi$