与えられた広義積分が収束するか発散するかを調べ、収束する場合はその値を求めます。 (1) $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2} dx$ (2) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx$

1. 問題の内容

与えられた広義積分が収束するか発散するかを調べ、収束する場合はその値を求めます。

(1) $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2} dx$

(2) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2} dx$ について

まず、積分を計算します。

$\int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx = -x^{-1} + C = -\frac{1}{x} + C$

次に、広義積分の定義に従って、積分範囲の端点を極限で置き換えます。

$\int_{0}^{1} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{a \to +0} \int_{a}^{1} \frac{1}{x^2} dx$

積分を評価します。

$\lim_{a \to +0} \int_{a}^{1} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{a \to +0} \left[-\frac{1}{x}\right]_{a}^{1} = \lim_{a \to +0} \left(-\frac{1}{1} - \left(-\frac{1}{a}\right)\right) = \lim_{a \to +0} \left(-1 + \frac{1}{a}\right)$

$a$ が $0$ に近づくにつれて、$\frac{1}{a}$ は無限大に発散します。したがって、広義積分は発散します。

(2) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx$ について

まず、積分を計算します。

$\int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{1}{x} + C$

次に、広義積分の定義に従って、積分範囲の端点を極限で置き換えます。

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x^2} dx$

積分を評価します。

$\lim_{b \to \infty} \int_{1}^{b} \frac{1}{x^2} dx = \lim_{b \to \infty} \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{b} = \lim_{b \to \infty} \left(-\frac{1}{b} - \left(-\frac{1}{1}\right)\right) = \lim_{b \to \infty} \left(-\frac{1}{b} + 1\right)$

$b$ が無限大に近づくにつれて、$\frac{1}{b}$ は $0$ に近づきます。したがって、広義積分は収束します。

$\lim_{b \to \infty} \left(-\frac{1}{b} + 1\right) = -0 + 1 = 1$

3. 最終的な答え

(1) 発散

(2) 1