曲線 $y = -x^3 + x^2 + 1$ 上の点 $(1, 1)$ における接線の方程式を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = -x^3 + x^2 + 1$ 上の点 $(1, 1)$ における接線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた関数の導関数を求める。

$y = -x^3 + x^2 + 1$ を $x$ で微分すると、

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y' = -3x^2 + 2x

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(2) 導関数に $x=1$ を代入して、点 $(1, 1)$ における接線の傾きを求める。

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y'(1) = -3(1)^2 + 2(1) = -3 + 2 = -1

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(3) 点 $(1, 1)$ を通り、傾きが $-1$ の直線の方程式を求める。

接線の方程式は、$y - y_1 = m(x - x_1)$ で表される。ここで、$(x_1, y_1) = (1, 1)$ であり、$m = -1$ である。

したがって、

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y - 1 = -1(x - 1)

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y - 1 = -x + 1

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y = -x + 2

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3. 最終的な答え

接線の方程式は $y = -x + 2$ である。