与えられた関数を微分する問題です。 (1) $y = \sin(3x - \frac{\pi}{4})$ (3) $y = \frac{1}{\tan x}$

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題です。

(1) $y = \sin(3x - \frac{\pi}{4})$

(3) $y = \frac{1}{\tan x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \sin(3x - \frac{\pi}{4})$ の微分

合成関数の微分公式を使います。$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$

ここで、 $u = 3x - \frac{\pi}{4}$ とおくと、$y = \sin u$ となります。

$\frac{dy}{du} = \cos u$

$\frac{du}{dx} = 3$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \cos u \cdot 3 = 3 \cos(3x - \frac{\pi}{4})$

(3) $y = \frac{1}{\tan x}$ の微分

$y = \frac{1}{\tan x} = \cot x$ と変形できます。

$\cot x = \frac{\cos x}{\sin x}$ なので、$y = \frac{\cos x}{\sin x}$

商の微分公式 $\frac{d}{dx} \left(\frac{u}{v}\right) = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ を用います。

$u = \cos x$, $v = \sin x$

$u' = -\sin x$, $v' = \cos x$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-\sin x \cdot \sin x - \cos x \cdot \cos x}{\sin^2 x} = \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x} = \frac{-1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x$

または、 $\frac{d}{dx} (\cot x) = -\csc^2 x$ を直接利用できます。

$\frac{1}{\sin^2 x} = 1 + \cot^2 x$ なので, $\frac{dy}{dx} = -(1 + \cot^2 x)$とも書ける。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = 3 \cos(3x - \frac{\pi}{4})$

(3) $\frac{dy}{dx} = -\csc^2 x$

または $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin^2 x}$

または $\frac{dy}{dx} = -(1+\cot^2 x)$