関数 $f(x) = x^2 - 7x + 4$ について、$x = 3$ における微分係数 $f'(3)$ を、微分係数の定義に従って求めよ。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 7x + 4$ について、$x = 3$ における微分係数 $f'(3)$ を、微分係数の定義に従って求めよ。

2. 解き方の手順

微分係数の定義は、以下の通りです。

$$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$$

この問題では、$a = 3$ なので、

$$f'(3) = \lim_{h \to 0} \frac{f(3+h) - f(3)}{h}$$

まず、$f(3)$ を計算します。

$$f(3) = (3)^2 - 7(3) + 4 = 9 - 21 + 4 = -8$$

次に、$f(3+h)$ を計算します。

$$f(3+h) = (3+h)^2 - 7(3+h) + 4 = (9 + 6h + h^2) - (21 + 7h) + 4 = h^2 - h - 8$$

したがって、

$$f(3+h) - f(3) = (h^2 - h - 8) - (-8) = h^2 - h$$

これより、

$$\frac{f(3+h) - f(3)}{h} = \frac{h^2 - h}{h} = \frac{h(h-1)}{h} = h - 1$$

ここで、$h \neq 0$ なので約分できます。

最後に、極限を計算します。

$$f'(3) = \lim_{h \to 0} (h - 1) = 0 - 1 = -1$$

3. 最終的な答え

$f'(3) = -1$