曲線 $y = x^2 + 2x + 1$ 上の点 (1, 0) から引かれた接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^2 + 2x + 1$ 上の点 (1, 0) から引かれた接線の方程式と接点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた曲線の方程式は $y = x^2 + 2x + 1 = (x+1)^2$ です。

曲線上の点 $(t, (t+1)^2)$ における接線を求めます。

まず、微分を計算します。

$y' = 2(x+1)$

点 $(t, (t+1)^2)$ における接線の傾きは $2(t+1)$ となります。

よって、接線の方程式は次のようになります。

$y - (t+1)^2 = 2(t+1)(x - t)$

$y = 2(t+1)x - 2t(t+1) + (t+1)^2$

$y = 2(t+1)x - 2t^2 - 2t + t^2 + 2t + 1$

$y = 2(t+1)x - t^2 + 1$

この接線が点 (1, 0) を通るので、これを代入します。

$0 = 2(t+1)(1) - t^2 + 1$

$0 = 2t + 2 - t^2 + 1$

$t^2 - 2t - 3 = 0$

$(t - 3)(t + 1) = 0$

$t = 3, -1$

(i) $t = 3$ のとき、接点の座標は $(3, (3+1)^2) = (3, 16)$

接線の方程式は $y = 2(3+1)x - 3^2 + 1 = 8x - 9 + 1 = 8x - 8$

(ii) $t = -1$ のとき、接点の座標は $(-1, (-1+1)^2) = (-1, 0)$

接線の方程式は $y = 2(-1+1)x - (-1)^2 + 1 = 0x - 1 + 1 = 0$

つまり、 $y = 0$

したがって、接線の方程式と接点は次のようになります。

接線の方程式が $y = 8x - 8$ のとき、接点は $(3, 16)$。

接線の方程式が $y = 0$ のとき、接点は $(-1, 0)$。

3. 最終的な答え

接線の方程式が $y=8x-8$ のとき、接点は $(3, 16)$ です。

接線の方程式が $y=0$ のとき、接点は $(-1, 0)$ です。