与えられた3つの極限を求める問題です。 (1) $\lim_{x \to 1} (1 - \log x)^{\frac{1}{\log x}}$ (2) $\lim_{x \to 1} x^{\frac{1}{1-x}}$ (3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{x}$

1. 問題の内容

与えられた3つの極限を求める問題です。

(1) $\lim_{x \to 1} (1 - \log x)^{\frac{1}{\log x}}$

(2) $\lim_{x \to 1} x^{\frac{1}{1-x}}$

(3) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{x}$

2. 解き方の手順

(1)

$t = \log x$ と置くと、$x \to 1$ のとき $t \to 0$ となります。よって、

$\lim_{x \to 1} (1 - \log x)^{\frac{1}{\log x}} = \lim_{t \to 0} (1 - t)^{\frac{1}{t}}$

$u = -t$ と置くと、$t \to 0$ のとき $u \to 0$ となります。

$\lim_{t \to 0} (1 - t)^{\frac{1}{t}} = \lim_{u \to 0} (1 + u)^{-\frac{1}{u}} = \lim_{u \to 0} ((1+u)^{\frac{1}{u}})^{-1}$

$\lim_{u \to 0} (1 + u)^{\frac{1}{u}} = e$ であるから、

$\lim_{u \to 0} ((1+u)^{\frac{1}{u}})^{-1} = e^{-1} = \frac{1}{e}$

(2)

$y = x^{\frac{1}{1-x}}$ と置くと、

$\log y = \frac{1}{1-x} \log x = \frac{\log x}{1-x}$

$\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{1-x}$ を求めます。これは $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使います。

$\lim_{x \to 1} \frac{\log x}{1-x} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{-1} = \lim_{x \to 1} -\frac{1}{x} = -1$

よって、$\lim_{x \to 1} \log y = -1$ ですから、

$\lim_{x \to 1} y = e^{-1} = \frac{1}{e}$

(3)

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{x}$ は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を使います。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{1} = e^0 + e^0 = 1 + 1 = 2$

または、$e^x$と$e^{-x}$をテイラー展開すると、

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots$

$e^{-x} = 1 - x + \frac{x^2}{2!} - \frac{x^3}{3!} + \cdots$

なので、

$e^x - e^{-x} = 2x + 2\frac{x^3}{3!} + \cdots$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x + 2\frac{x^3}{3!} + \cdots}{x} = \lim_{x \to 0} (2 + 2\frac{x^2}{3!} + \cdots) = 2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{e}$

(2) $\frac{1}{e}$

(3) 2