与えられた級数の収束・発散を判定する問題です。具体的には、以下の2つの級数について判定を行います。 (1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 1}{3^n + 1}$ (2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!}$

1. 問題の内容

与えられた級数の収束・発散を判定する問題です。具体的には、以下の2つの級数について判定を行います。

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 1}{3^n + 1}$

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!}$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 1}{3^n + 1}$ の場合：

比判定または極限比較判定を用いることを考えます。

$a_n = \frac{2^n + 1}{3^n + 1}$ とします。

$a_n$は$\left( \frac{2}{3}\right)^n$に近いと予想できるので、$\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2}{3}\right)^n$と比較することを考えます。$\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2}{3}\right)^n$は公比が$\frac{2}{3}$の等比級数であり、$\left|\frac{2}{3}\right| < 1$なので収束します。

$b_n = \left(\frac{2}{3}\right)^n$とします。

極限 $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ を計算します。

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2^n + 1}{3^n + 1}}{\left(\frac{2}{3}\right)^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n + 1}{3^n + 1} \cdot \frac{3^n}{2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^n 3^n + 3^n}{3^n 2^n + 2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(2 \cdot 3)^n + 3^n}{(3 \cdot 2)^n + 2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{6^n + 3^n}{6^n + 2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + (\frac{1}{2})^n}{1 + (\frac{1}{3})^n} = \frac{1 + 0}{1 + 0} = 1$

極限値が0より大きく有限の値であるため、極限比較判定法より、$\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ と $\sum_{n=1}^{\infty} b_n$ の収束・発散は一致します。$\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2}{3}\right)^n$が収束するので、$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 1}{3^n + 1}$も収束します。

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!}$ の場合：

比判定を用いるのが適切です。

$a_n = \frac{2^n}{n!}$ とします。

$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2^{n+1}}{(n+1)!}}{\frac{2^n}{n!}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \lim_{n \to \infty} \frac{2^{n+1}}{2^n} \cdot \frac{n!}{(n+1)!} = \lim_{n \to \infty} \frac{2}{n+1} = 0$

$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = 0 < 1$なので、比判定法より$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!}$は収束します。

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n + 1}{3^n + 1}$ は収束する。

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n!}$ は収束する。