次の3つの関数を微分する問題です。 (1) $y = x^2e^{3x}$ (2) $y = \sin^{-1}\sqrt{2x}$ (3) $y = (2x)^x$

1. 問題の内容

次の3つの関数を微分する問題です。

(1) $y = x^2e^{3x}$

(2) $y = \sin^{-1}\sqrt{2x}$

(3) $y = (2x)^x$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^2e^{3x}$ の微分

積の微分法 $(uv)' = u'v + uv'$ を用います。

$u = x^2$, $v = e^{3x}$ とすると、$u' = 2x$, $v' = 3e^{3x}$ となります。

よって、

$y' = (x^2)'e^{3x} + x^2(e^{3x})' = 2xe^{3x} + x^2(3e^{3x}) = 2xe^{3x} + 3x^2e^{3x} = (2x+3x^2)e^{3x}$

(2) $y = \sin^{-1}\sqrt{2x}$ の微分

合成関数の微分法を用います。$\sin^{-1}u$ の微分は $\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$ であり、$\sqrt{v}$ の微分は $\frac{1}{2\sqrt{v}}$ です。

$u = \sqrt{2x}$ とすると、$y = \sin^{-1}u$ であり、$\frac{dy}{du} = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} = \frac{1}{\sqrt{1-2x}}$。

$v = 2x$ とすると、$u = \sqrt{v}$ であり、$\frac{du}{dv} = \frac{1}{2\sqrt{v}} = \frac{1}{2\sqrt{2x}}$。

$\frac{dv}{dx} = 2$。

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-2x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2x}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{1-2x}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2x}} = \frac{1}{\sqrt{2x(1-2x)}} = \frac{1}{\sqrt{2x-4x^2}}$

(3) $y = (2x)^x$ の微分

両辺の自然対数をとります。

$\ln y = \ln (2x)^x = x \ln (2x)$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln (2x) + x \cdot \frac{1}{2x} \cdot 2 = \ln (2x) + 1$

$\frac{dy}{dx} = y(\ln(2x) + 1) = (2x)^x (\ln(2x)+1)$

3. 最終的な答え

(1) $y' = (2x+3x^2)e^{3x}$

(2) $y' = \frac{1}{\sqrt{2x-4x^2}}$

(3) $y' = (2x)^x (\ln(2x)+1)$