次の極限値を求めます。 (1) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$ (2) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{1 - \cos 3x}$ (3) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x - \frac{\pi}{2}}$

1. 問題の内容

次の極限値を求めます。

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{1 - \cos 3x}$

(3) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x - \frac{\pi}{2}}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x}$ を計算します。

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x \cos x}$となります。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$と$\lim_{x \to 0} \cos x = 1$を用いると、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos x} = 1 \cdot 1 = 1$

(2) $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{1 - \cos 3x}$ を計算します。

$1 - \cos ax = 2 \sin^2 \frac{ax}{2}$ を用いると、

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 2x}{1 - \cos 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 x}{2 \sin^2 \frac{3x}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{\sin^2 \frac{3x}{2}}$となります。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$を用いるために、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 x}{\sin^2 \frac{3x}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin^2 x}{x^2}}{\frac{\sin^2 \frac{3x}{2}}{x^2}} = \lim_{x \to 0} \frac{(\frac{\sin x}{x})^2}{\frac{9}{4} (\frac{\sin \frac{3x}{2}}{\frac{3x}{2}})^2} = \frac{1}{\frac{9}{4}} = \frac{4}{9}$

(3) $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x - \frac{\pi}{2}}$ を計算します。

$t = x - \frac{\pi}{2}$とおくと、$x = t + \frac{\pi}{2}$となります。

$x \to \frac{\pi}{2}$のとき、$t \to 0$となります。

$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{x - \frac{\pi}{2}} = \lim_{t \to 0} \frac{\cos (t + \frac{\pi}{2})}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-\sin t}{t} = -1$

3. 最終的な答え

(1) 1

(2) $\frac{4}{9}$

(3) -1