$t = \tan\frac{x}{2}$ とおくとき、以下の問いに答えよ。 (1) $\sin x$ および $\cos x$ を $t$ で表せ。 (2) $\frac{dx}{dt}$ を $t$ で表せ。 (3) 不定積分 $\int \frac{5}{3\sin x + 4\cos x}dx$ を求めよ。

1. 問題の内容

$t = \tan\frac{x}{2}$ とおくとき、以下の問いに答えよ。

(1) $\sin x$ および $\cos x$ を $t$ で表せ。

(2) $\frac{dx}{dt}$ を $t$ で表せ。

(3) 不定積分 $\int \frac{5}{3\sin x + 4\cos x}dx$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\sin x$ と $\cos x$ を $t$ で表す。

半角の公式より、$t = \tan\frac{x}{2}$ であるから、三角関数の合成を用いる。

$\sin x = 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} = 2 \tan \frac{x}{2} \cos^2 \frac{x}{2} = \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{\sec^2 \frac{x}{2}} = \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{1+\tan^2 \frac{x}{2}}$

$\cos x = \cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2} = \cos^2 \frac{x}{2} (1 - \tan^2 \frac{x}{2}) = \frac{1 - \tan^2 \frac{x}{2}}{\sec^2 \frac{x}{2}} = \frac{1 - \tan^2 \frac{x}{2}}{1 + \tan^2 \frac{x}{2}}$

したがって、

$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$

$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

(2) $\frac{dx}{dt}$ を $t$ で表す。

$t = \tan \frac{x}{2}$ より、$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} = \frac{1}{2} (1+\tan^2 \frac{x}{2}) = \frac{1}{2}(1+t^2)$

したがって、$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{\frac{dt}{dx}} = \frac{2}{1+t^2}$

(3) 不定積分 $\int \frac{5}{3\sin x + 4\cos x}dx$ を求める。

(1)と(2)の結果を利用して、$t$に関する積分に置き換える。

$\int \frac{5}{3\sin x + 4\cos x} dx = \int \frac{5}{3(\frac{2t}{1+t^2}) + 4(\frac{1-t^2}{1+t^2})} \cdot \frac{2}{1+t^2} dt = \int \frac{10}{6t+4-4t^2} dt = \int \frac{10}{-4t^2+6t+4} dt = \int \frac{5}{-2t^2+3t+2} dt = \int \frac{5}{-(2t+1)(t-2)} dt = -5 \int \frac{1}{(2t+1)(t-2)} dt$

$\frac{1}{(2t+1)(t-2)} = \frac{A}{2t+1} + \frac{B}{t-2}$ と部分分数分解する。

$1 = A(t-2) + B(2t+1)$

$t = 2$ のとき、$1 = 5B$ より $B = \frac{1}{5}$

$t = -\frac{1}{2}$ のとき、$1 = A(-\frac{5}{2})$ より $A = -\frac{2}{5}$

よって、$\frac{1}{(2t+1)(t-2)} = -\frac{2}{5} \frac{1}{2t+1} + \frac{1}{5} \frac{1}{t-2}$

したがって、$\int \frac{5}{3\sin x + 4\cos x} dx = -5 \int (-\frac{2}{5} \frac{1}{2t+1} + \frac{1}{5} \frac{1}{t-2}) dt = 2 \int \frac{1}{2t+1} dt - \int \frac{1}{t-2} dt = \log |2t+1| - \log |t-2| + C = \log |\frac{2t+1}{t-2}| + C = \log |\frac{2\tan \frac{x}{2}+1}{\tan \frac{x}{2}-2}| + C$

3. 最終的な答え

$\sin x = \frac{2t}{1+t^2}$

$\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

$\frac{dx}{dt} = \frac{2}{1+t^2}$

$\int \frac{5}{3\sin x + 4\cos x}dx = \log \left| \frac{2\tan \frac{x}{2} + 1}{\tan \frac{x}{2} - 2} \right| + C$