$a$ と $b$ を2つの実数、$r$ を正の実数とする。すべての自然数 $n$ に対して $|a-b| \le \frac{r}{n}$ が成り立つとき、$a=b$ であることを示せ。

1. 問題の内容

$a$ と $b$ を2つの実数、$r$ を正の実数とする。すべての自然数 $n$ に対して $|a-b| \le \frac{r}{n}$ が成り立つとき、$a=b$ であることを示せ。

2. 解き方の手順

背理法を用いて示す。$a \ne b$ と仮定する。すると $|a-b| > 0$ である。

$\epsilon = |a-b|$ とおく。このとき、仮定より、任意の自然数 $n$ に対して

$$|a-b| \le \frac{r}{n}$$

が成り立つ。したがって、

$$\epsilon \le \frac{r}{n}$$

両辺に $n$ を掛けて、

$$n \epsilon \le r$$

$$n \le \frac{r}{\epsilon}$$

ここで、$\epsilon = |a-b| > 0$ であり、$r > 0$ であるから、$\frac{r}{\epsilon}$ はある正の数である。したがって、任意の自然数 $n$ がある定数 $\frac{r}{\epsilon}$ 以下になるという結論になる。しかし、自然数の集合に上限はないので、これは矛盾である。したがって、$a = b$ である。

3. 最終的な答え

$a = b$