関数 $y = \sqrt{2} \sin^3 x + \sqrt{6} \cos^3 x$ の $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ における最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{2} \sin^3 x + \sqrt{6} \cos^3 x$ の $0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ における最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$u = \sin x$ とおくと、$\cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} = \sqrt{1 - u^2}$ となり、$0 \le x \le \frac{\pi}{2}$ より、$0 \le u \le 1$ である。

したがって、関数 $y$ は $u$ を用いて次のように表せる。

$y = \sqrt{2} u^3 + \sqrt{6} (1 - u^2)^{\frac{3}{2}}$

ここで、関数 $y$ の微分を計算することは困難であるため、別の方法を考える。

$y = \sqrt{2} \sin^3 x + \sqrt{6} \cos^3 x$ について、$x = 0$ と $x = \frac{\pi}{2}$ のときの $y$ の値を計算する。

$x = 0$ のとき、$\sin x = 0$, $\cos x = 1$ であるから、

$y = \sqrt{2}(0)^3 + \sqrt{6}(1)^3 = \sqrt{6}$

$x = \frac{\pi}{2}$ のとき、$\sin x = 1$, $\cos x = 0$ であるから、

$y = \sqrt{2}(1)^3 + \sqrt{6}(0)^3 = \sqrt{2}$

次に、$x = \frac{\pi}{4}$ のときの $y$ の値を計算する。

$\sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ であるから、

$y = \sqrt{2} (\frac{1}{\sqrt{2}})^3 + \sqrt{6} (\frac{1}{\sqrt{2}})^3 = \sqrt{2} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} + \sqrt{6} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

ここで、$y' = 3\sqrt{2} \sin^2 x \cos x - 3\sqrt{6} \cos^2 x \sin x = 0$ を満たす $x$ が存在するか調べる。

$3\sqrt{2} \sin^2 x \cos x = 3\sqrt{6} \cos^2 x \sin x$

$\sqrt{2} \sin^2 x \cos x = \sqrt{6} \cos^2 x \sin x$

$\sin x = 0$ または $\cos x = 0$ でない場合、

$\sqrt{2} \sin x = \sqrt{6} \cos x$

$\tan x = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}} = \sqrt{3}$

したがって、$x = \frac{\pi}{3}$ である。

$x = \frac{\pi}{3}$ のとき、$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\cos x = \frac{1}{2}$ であるから、

$y = \sqrt{2} (\frac{\sqrt{3}}{2})^3 + \sqrt{6} (\frac{1}{2})^3 = \sqrt{2} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{8} + \sqrt{6} \cdot \frac{1}{8} = \frac{3\sqrt{6}}{8} + \frac{\sqrt{6}}{8} = \frac{4\sqrt{6}}{8} = \frac{\sqrt{6}}{2}$

$\sqrt{6} \approx 2.449$

$\sqrt{2} \approx 1.414$

$\frac{1+\sqrt{3}}{2} \approx \frac{1+1.732}{2} = \frac{2.732}{2} \approx 1.366$

$\frac{\sqrt{6}}{2} \approx \frac{2.449}{2} \approx 1.2245$

$x=0$ で $y = \sqrt{6}$ (最大値)

$x = \pi/3$ で $y=\frac{\sqrt{6}}{2}$

$x=\pi/2$ で $y=\sqrt{2}$

$x=\pi/4$ で $y = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$

最大値は$\sqrt{6}$であり、最小値は$\frac{\sqrt{6}}{2}$ではない。$\sqrt{2} = 1.414$　と$\frac{1+\sqrt{3}}{2} = 1.366$の比較をしてみる。$y' = 0$となる$x = \frac{\pi}{3}$で最小値を取るというわけではないので、最小値は$\frac{1+\sqrt{3}}{2}$である

3. 最終的な答え

最大値: $\sqrt{6}$

最小値: $\sqrt{2}$