$f(x) = \sqrt{1+x}$ の $n=4$ のマクローリン展開を求め、それを用いて $\sqrt{1.1}$ の近似値とその誤差の範囲（誤差の絶対値の最大値）を求める問題です。ただし、近似値は小数で求める必要があります。

1. 問題の内容

$f(x) = \sqrt{1+x}$ の $n=4$ のマクローリン展開を求め、それを用いて $\sqrt{1.1}$ の近似値とその誤差の範囲（誤差の絶対値の最大値）を求める問題です。ただし、近似値は小数で求める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = \sqrt{1+x}$ のマクローリン展開を求めます。マクローリン展開は $x=0$ におけるテイラー展開であるため、以下の式で表されます。

$f(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k + R_n$

ここで、$R_n$ は剰余項です。この問題では $n=4$ のマクローリン展開を求めるので、 $f(x)$ の0階から4階までの導関数を計算し、$x=0$ における値を求めます。

* $f(x) = (1+x)^{1/2}$

* $f'(x) = \frac{1}{2}(1+x)^{-1/2}$

* $f''(x) = -\frac{1}{4}(1+x)^{-3/2}$

* $f'''(x) = \frac{3}{8}(1+x)^{-5/2}$

* $f^{(4)}(x) = -\frac{15}{16}(1+x)^{-7/2}$

次に、$x=0$ でのこれらの導関数の値を計算します。

* $f(0) = 1$

* $f'(0) = \frac{1}{2}$

* $f''(0) = -\frac{1}{4}$

* $f'''(0) = \frac{3}{8}$

* $f^{(4)}(0) = -\frac{15}{16}$

これらの値をマクローリン展開の式に代入します。

$f(x) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{4\cdot2!}x^2 + \frac{3}{8\cdot3!}x^3 - \frac{15}{16\cdot4!}x^4 + R_4$

これを整理すると、

$f(x) = 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3 + R_4$

ここで、問題文に$x^3$までの多項式と書いてあるので、$x^4$の項を無視します。

$\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3$

次に、$\sqrt{1.1}$ の近似値を求めます。$x=0.1$ を代入します。

$\sqrt{1.1} \approx 1 + \frac{1}{2}(0.1) - \frac{1}{8}(0.1)^2 + \frac{1}{16}(0.1)^3 = 1 + 0.05 - 0.00125 + 0.0000625 = 1.0488125 \approx 1.0488$

最後に、誤差の範囲を求めます。剰余項 $R_4$ はラグランジュの剰余項で評価できます。

$R_4 = \frac{f^{(5)}(c)}{5!}x^5$

ただし、$0 < c < x$ です。

$f^{(5)}(x) = \frac{105}{32}(1+x)^{-9/2}$

$R_4 = \frac{105}{32 \cdot 5!}(1+c)^{-9/2}x^5 = \frac{105}{32 \cdot 120}(1+c)^{-9/2}(0.1)^5 = \frac{7}{256}(1+c)^{-9/2}(0.1)^5$

$|R_4| \leq \frac{7}{256} (0.1)^5 = \frac{7}{256} \times 0.00001 = 0.0000002734375$

したがって、誤差の絶対値の最大値は約 0.00000027 です。

3. 最終的な答え

$\sqrt{1+x} \approx 1 + \frac{1}{2}x - \frac{1}{8}x^2 + \frac{1}{16}x^3$

$\sqrt{1.1} \approx 1.0488$

誤差の範囲（誤差の絶対値の最大値）は約 $0.00000027$