広義積分 $\int_0^\infty e^{-x} dx$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

広義積分 $\int_0^\infty e^{-x} dx$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int e^{-x} dx$ を計算します。$u = -x$ と置換すると、$du = -dx$ となるので、

$$\int e^{-x} dx = -\int e^u du = -e^u + C = -e^{-x} + C$$

となります。

次に、広義積分の定義に従い、

$$\int_0^\infty e^{-x} dx = \lim_{t \to \infty} \int_0^t e^{-x} dx = \lim_{t \to \infty} [-e^{-x}]_0^t = \lim_{t \to \infty} (-e^{-t} - (-e^{-0})) = \lim_{t \to \infty} (-e^{-t} + 1)$$

$t \to \infty$ のとき、$e^{-t} \to 0$ なので、

$$\lim_{t \to \infty} (-e^{-t} + 1) = -0 + 1 = 1$$

となります。

3. 最終的な答え

$\int_0^\infty e^{-x} dx = 1$

したがって、解答群の (1) が答えです。