関数 $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

$y$ を $x$ で微分するには、合成関数の微分（連鎖律）を用います。

まず、$\log u$ の微分は $\frac{1}{u}$ です（自然対数であると仮定します）。

次に、$u = x + \sqrt{x^2 + 1}$ とすると、$\frac{du}{dx}$ を計算する必要があります。

$\frac{d}{dx}(x) = 1$

$\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2 + 1}) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{d}{dx}(x^2 + 1) = \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

したがって、

$\frac{du}{dx} = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = \frac{\sqrt{x^2 + 1} + x}{\sqrt{x^2 + 1}}$

連鎖律より、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2 + 1}}{\sqrt{x^2 + 1}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 1}}$