方程式 $e^{-(x-1)^2} = a$ が異なる2つの実数解をもつような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

方程式 $e^{-(x-1)^2} = a$ が異なる2つの実数解をもつような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

まず、関数 $y = e^{-(x-1)^2}$ のグラフを考えます。

$t=(x-1)^2$ とおくと、$y = e^{-t}$ です。

$t$ は常に0以上の値を取ります。

$x = 1$ のとき、$t=0$ となり、$y = e^0 = 1$ を取ります。

$x$ が1から離れるほど、$t$ は大きくなり、$y$ は減少します。

したがって、$y = e^{-(x-1)^2}$ は $x = 1$ で最大値1をとり、 $x$ が $\pm\infty$ に近づくにつれて0に近づきます。

また、$y=e^{-(x-1)^2}$ は $x=1$ に関して対称な関数です。

$y = e^{-(x-1)^2}$ のグラフと直線 $y = a$ の交点の個数を考えます。

問題の条件を満たすためには、この交点が2個である必要があります。

$y = a$ が $y = e^{-(x-1)^2}$ の最大値を超える場合、$y = e^{-(x-1)^2}$ のグラフと交点を持ちません。

$y = a$ が $y = e^{-(x-1)^2}$ のグラフの最大値である $y=1$ のとき、交点は1個です。

$y=0$ のとき、交点はありません。

したがって、$0 < a < 1$ であれば、$y = e^{-(x-1)^2}$ のグラフと直線 $y = a$ は異なる2点で交わります。

3. 最終的な答え

$0 < a < 1$