関数 $f(x) = \frac{3x+a}{x^2+1}$ が $x=3$ で極値をとるように、定数 $a$ の値を定める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{3x+a}{x^2+1}$ が $x=3$ で極値をとるように、定数 $a$ の値を定める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。商の微分公式を用いて、

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f'(x) = \frac{(3)(x^2+1) - (3x+a)(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{3x^2+3 - 6x^2 - 2ax}{(x^2+1)^2} = \frac{-3x^2 - 2ax + 3}{(x^2+1)^2}

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$x=3$ で極値をとるためには、$f'(3) = 0$ である必要があります。したがって、

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f'(3) = \frac{-3(3)^2 - 2a(3) + 3}{(3^2+1)^2} = \frac{-27 - 6a + 3}{100} = \frac{-24 - 6a}{100} = 0

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この式を解くと、

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-24 - 6a = 0 \\

6a = -24 \\

a = -4

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次に、$a=-4$ のとき、$x=3$ で本当に極値をとるか確認します。

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f'(x) = \frac{-3x^2 + 8x + 3}{(x^2+1)^2} = \frac{-(3x+1)(x-3)}{(x^2+1)^2}

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$f'(x)$ の符号を調べます。$x=3$ の前後で、$f'(x)$ の符号が変化すれば極値をとります。

$x$ が 3 より少し小さいとき、$x < 3$ なので、$x-3<0$。したがって、 $f'(x) > 0$。

$x$ が 3 より少し大きいとき、$x > 3$ なので、$x-3>0$。したがって、$f'(x) < 0$。

$x=3$ の前後で $f'(x)$ の符号が正から負に変化するため、$x=3$ で極大値をとります。

3. 最終的な答え

$a = -4$