与えられた3つの積分を計算します。 (1) $\int \sin^2 \theta \, d\theta$ (2) $\int \frac{1}{1+2x} \, dx$ (3) $\int_0^3 \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} \, dx$

1. 問題の内容

与えられた3つの積分を計算します。

(1) $\int \sin^2 \theta \, d\theta$

(2) $\int \frac{1}{1+2x} \, dx$

(3) $\int_0^3 \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} \, dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \sin^2 \theta \, d\theta$ を計算します。

$\sin^2 \theta = \frac{1 - \cos(2\theta)}{2}$ という恒等式を利用します。

よって、

$$\int \sin^2 \theta \, d\theta = \int \frac{1 - \cos(2\theta)}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \int (1 - \cos(2\theta)) \, d\theta$$

$$= \frac{1}{2} \left( \theta - \frac{1}{2} \sin(2\theta) \right) + C = \frac{1}{2} \theta - \frac{1}{4} \sin(2\theta) + C$$

(2) $\int \frac{1}{1+2x} \, dx$ を計算します。

$u = 1+2x$ と置換すると、$du = 2 \, dx$ より $dx = \frac{1}{2} du$ となります。

$$\int \frac{1}{1+2x} \, dx = \int \frac{1}{u} \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln|u| + C$$

$$= \frac{1}{2} \ln|1+2x| + C$$

(3) $\int_0^3 \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} \, dx$ を計算します。

これは $\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}} dx = \arcsin(\frac{x}{a}) + C$ の形をしています。

$a = 3$ の場合を考えます。

$$\int_0^3 \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} \, dx = \left[ \arcsin \left( \frac{x}{3} \right) \right]_0^3 = \arcsin \left( \frac{3}{3} \right) - \arcsin \left( \frac{0}{3} \right) = \arcsin(1) - \arcsin(0)$$

$$= \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$$

3. 最終的な答え

(1) $\int \sin^2 \theta \, d\theta = \frac{1}{2} \theta - \frac{1}{4} \sin(2\theta) + C$

(2) $\int \frac{1}{1+2x} \, dx = \frac{1}{2} \ln|1+2x| + C$

(3) $\int_0^3 \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} \, dx = \frac{\pi}{2}$