$R > 0$ とし、関数 $y = \frac{1}{x}$ ($1 \le x \le R$) のグラフを $x$ 軸の周りに一回転してできる回転体の体積を $V_R$ とする。このとき、$\lim_{R \to \infty} V_R$ を求める問題。

1. 問題の内容

$R > 0$ とし、関数 $y = \frac{1}{x}$ ($1 \le x \le R$) のグラフを $x$ 軸の周りに一回転してできる回転体の体積を $V_R$ とする。このとき、$\lim_{R \to \infty} V_R$ を求める問題。

2. 解き方の手順

回転体の体積 $V_R$ は、円盤積分を用いて求めることができます。

$V_R = \int_{1}^{R} \pi y^2 dx = \int_{1}^{R} \pi (\frac{1}{x})^2 dx = \pi \int_{1}^{R} \frac{1}{x^2} dx$

積分を実行します。

$\int_{1}^{R} \frac{1}{x^2} dx = \left[-\frac{1}{x}\right]_{1}^{R} = -\frac{1}{R} - (-\frac{1}{1}) = 1 - \frac{1}{R}$

したがって、$V_R = \pi (1 - \frac{1}{R})$ となります。

次に、$\lim_{R \to \infty} V_R$ を計算します。

$\lim_{R \to \infty} V_R = \lim_{R \to \infty} \pi (1 - \frac{1}{R}) = \pi \lim_{R \to \infty} (1 - \frac{1}{R}) = \pi (1 - 0) = \pi$

3. 最終的な答え

$\pi$