$a > 0$を定数とする時、広義積分$\int_{0}^{a} \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx$の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$a > 0$を定数とする時、広義積分$\int_{0}^{a} \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx$の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

広義積分を計算するために、以下の手順で積分を行います。

まず、$x = a\sin\theta$と置換します。このとき、$dx = a\cos\theta d\theta$となります。

$x$が$0$から$a$まで変化するとき、$\theta$は$0$から$\frac{\pi}{2}$まで変化します。

$\sqrt{a^2 - x^2} = \sqrt{a^2 - a^2\sin^2\theta} = \sqrt{a^2(1 - \sin^2\theta)} = \sqrt{a^2\cos^2\theta} = a\cos\theta$となります。

したがって、積分は次のように変換されます。

$\int_{0}^{a} \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{a\cos\theta} a\cos\theta d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 d\theta$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 1 d\theta = [\theta]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{2}$