関数 $f(x) = \frac{x^2}{x+1}$ について、$y=f(x)$ の極値を求め、グラフの概形を描く問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x^2}{x+1}$ について、$y=f(x)$ の極値を求め、グラフの概形を描く問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数の定義域を確認します。分母が0にならないように、$x \neq -1$ です。

次に、導関数 $f'(x)$ を計算します。

$f'(x) = \frac{2x(x+1) - x^2}{(x+1)^2} = \frac{2x^2+2x-x^2}{(x+1)^2} = \frac{x^2+2x}{(x+1)^2} = \frac{x(x+2)}{(x+1)^2}$

$f'(x) = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$x(x+2) = 0$ より、$x=0, -2$ です。

$x=-1$ は定義域に含まれないので除きます。

増減表を作成します。

| x | ... | -2 | ... | -1 | ... | 0 | ... |

| :---- | :--- | :--- | :---- | :--- | :--- | :--- | :--- |

| f'(x) | + | 0 | - | - | - | 0 | + |

| f(x) | ↑ | -4 | ↓ | | ↓ | 0 | ↑ |

増減表から、

$x=-2$ のとき、極大値 $f(-2) = \frac{(-2)^2}{-2+1} = \frac{4}{-1} = -4$

$x=0$ のとき、極小値 $f(0) = \frac{0^2}{0+1} = 0$

漸近線を求めます。

$x=-1$ で定義されないので、$x=-1$ は垂直漸近線です。

$y = \frac{x^2}{x+1} = \frac{x^2-1+1}{x+1} = \frac{(x+1)(x-1)+1}{x+1} = x-1 + \frac{1}{x+1}$

したがって、$x \to \pm\infty$ で $\frac{1}{x+1} \to 0$ なので、$y=x-1$ は斜め漸近線です。

以上の情報から、グラフの概形を描きます。

3. 最終的な答え

極大値: $x=-2$ のとき、$f(-2) = -4$

極小値: $x=0$ のとき、$f(0) = 0$

垂直漸近線: $x=-1$

斜め漸近線: $y=x-1$