次の3つの積分を計算します。 [1] $\int \sin^2{\theta} \, d\theta$ [2] $\int \frac{1}{1+2x} \, dx$ [3] $\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} \, dx$

1. 問題の内容

次の3つの積分を計算します。

[1] $\int \sin^2{\theta} \, d\theta$

[2] $\int \frac{1}{1+2x} \, dx$

[3] $\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} \, dx$

2. 解き方の手順

[1] $\int \sin^2{\theta} \, d\theta$

$\sin^2{\theta}$ の積分を計算するために、倍角の公式 $\cos{2\theta} = 1 - 2\sin^2{\theta}$ を用いて、$\sin^2{\theta} = \frac{1 - \cos{2\theta}}{2}$ と変形します。

$\int \sin^2{\theta} \, d\theta = \int \frac{1 - \cos{2\theta}}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \int (1 - \cos{2\theta}) \, d\theta = \frac{1}{2} (\theta - \frac{1}{2}\sin{2\theta}) + C = \frac{1}{2}\theta - \frac{1}{4}\sin{2\theta} + C$

[2] $\int \frac{1}{1+2x} \, dx$

$u = 1+2x$ と置換すると、$du = 2 \, dx$ となり、$dx = \frac{1}{2} \, du$ となります。

$\int \frac{1}{1+2x} \, dx = \int \frac{1}{u} \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} \, du = \frac{1}{2} \ln|u| + C = \frac{1}{2} \ln|1+2x| + C$

[3] $\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} \, dx$

この積分は、逆三角関数の積分として知られています。

$\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \arcsin{\frac{x}{a}} + C$

ここで $a = 3$ なので、

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} \, dx = \left[ \arcsin{\frac{x}{3}} \right]_{0}^{3} = \arcsin{\frac{3}{3}} - \arcsin{\frac{0}{3}} = \arcsin{1} - \arcsin{0} = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

[1] $\int \sin^2{\theta} \, d\theta = \frac{1}{2}\theta - \frac{1}{4}\sin{2\theta} + C$

[2] $\int \frac{1}{1+2x} \, dx = \frac{1}{2} \ln|1+2x| + C$

[3] $\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{9-x^2}} \, dx = \frac{\pi}{2}$