与えられた陰関数 $x$ について、$y$ の導関数 $y'$ を求める問題です。具体的には、以下の6つの関数について、$y'$ を求めます。 (1) $x^2 + xy + y^2 = 1$ (2) $x^3 + y^3 - 3xy = 0$ (3) $x = y^2 - y + 1$ (4) $x(y^2 - 2y) = 1$ (5) $xy - xe^y = 1$ (6) $\frac{y}{x} - \sin(xy) = 1$

1. 問題の内容

与えられた陰関数 $x$ について、$y$ の導関数 $y'$ を求める問題です。具体的には、以下の6つの関数について、$y'$ を求めます。

(1) $x^2 + xy + y^2 = 1$

(2) $x^3 + y^3 - 3xy = 0$

(3) $x = y^2 - y + 1$

(4) $x(y^2 - 2y) = 1$

(5) $xy - xe^y = 1$

(6) $\frac{y}{x} - \sin(xy) = 1$

2. 解き方の手順

それぞれの関数について、両辺を $x$ で微分し、$y'$ について解きます。

(1) $x^2 + xy + y^2 = 1$

両辺を $x$ で微分します。

$2x + y + xy' + 2yy' = 0$

$y'(x + 2y) = -2x - y$

$y' = \frac{-2x - y}{x + 2y}$

(2) $x^3 + y^3 - 3xy = 0$

両辺を $x$ で微分します。

$3x^2 + 3y^2y' - 3y - 3xy' = 0$

$y'(3y^2 - 3x) = 3y - 3x^2$

$y' = \frac{y - x^2}{y^2 - x}$

(3) $x = y^2 - y + 1$

両辺を $x$ で微分します。

$1 = 2yy' - y'$

$1 = y'(2y - 1)$

$y' = \frac{1}{2y - 1}$

(4) $x(y^2 - 2y) = 1$

両辺を $x$ で微分します。

$(y^2 - 2y) + x(2yy' - 2y') = 0$

$(y^2 - 2y) + (2xy - 2x)y' = 0$

$y'(2xy - 2x) = -y^2 + 2y$

$y' = \frac{-y^2 + 2y}{2xy - 2x} = \frac{-y(y-2)}{2x(y-1)} = -\frac{y(y-2)}{2x(y-1)}$

(5) $xy - xe^y = 1$

両辺を $x$ で微分します。

$y + xy' - e^y - xe^yy' = 0$

$y' = \frac{e^y - y}{x - xe^y}$

$y' = \frac{e^y - y}{x(1 - e^y)}$

(6) $\frac{y}{x} - \sin(xy) = 1$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{y'x - y}{x^2} - \cos(xy)(y + xy') = 0$

$\frac{xy' - y}{x^2} - y\cos(xy) - x\cos(xy)y' = 0$

$xy' - y - x^2y\cos(xy) - x^3\cos(xy)y' = 0$

$y'(x - x^3\cos(xy)) = y + x^2y\cos(xy)$

$y' = \frac{y + x^2y\cos(xy)}{x - x^3\cos(xy)}$

$y' = \frac{y(1 + x^2\cos(xy))}{x(1 - x^2\cos(xy))}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = \frac{-2x - y}{x + 2y}$

(2) $y' = \frac{y - x^2}{y^2 - x}$

(3) $y' = \frac{1}{2y - 1}$

(4) $y' = -\frac{y(y-2)}{2x(y-1)}$

(5) $y' = \frac{e^y - y}{x(1 - e^y)}$

(6) $y' = \frac{y(1 + x^2\cos(xy))}{x(1 - x^2\cos(xy))}$