与えられた関数について、$n$次導関数を求める問題です。具体的には以下の3つの関数について$n$次導関数を求めます。 (7) $xe^{2x}$ (8) $\frac{4}{x^2 - 4}$ (9) $x^2 \sin x$

1. 問題の内容

与えられた関数について、$n$次導関数を求める問題です。具体的には以下の3つの関数について$n$次導関数を求めます。

(7) $xe^{2x}$

(8) $\frac{4}{x^2 - 4}$

(9) $x^2 \sin x$

2. 解き方の手順

(7) $xe^{2x}$の場合：

ライプニッツの公式を利用します。ライプニッツの公式とは、$n$次導関数$(uv)^{(n)}$が以下のように表されるものです。

$$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} u^{(n-k)} v^{(k)}$$

ここで$u = x$、$v = e^{2x}$とします。

$u' = 1$, $u'' = 0$より、$u$の$2$階以上の導関数はすべて$0$となります。

$v' = 2e^{2x}$, $v'' = 4e^{2x}$, ..., $v^{(k)} = 2^k e^{2x}$

したがって、

$$(xe^{2x})^{(n)} = \binom{n}{0} x (e^{2x})^{(n)} + \binom{n}{1} (x)' (e^{2x})^{(n-1)}$$

$$= x 2^n e^{2x} + n \cdot 1 \cdot 2^{n-1}e^{2x}$$

$$= (x 2^n + n 2^{n-1})e^{2x} = 2^{n-1}(2x + n)e^{2x}$$

(8) $\frac{4}{x^2 - 4}$の場合：

部分分数分解を行います。

$$\frac{4}{x^2 - 4} = \frac{4}{(x-2)(x+2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2}$$

$4 = A(x+2) + B(x-2)$

$x = 2$ のとき $4 = 4A$ より $A = 1$

$x = -2$ のとき $4 = -4B$ より $B = -1$

よって

$$\frac{4}{x^2 - 4} = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2}$$

ここで$(\frac{1}{x-a})^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(x-a)^{n+1}}$なので、

$$(\frac{4}{x^2 - 4})^{(n)} = \frac{(-1)^n n!}{(x-2)^{n+1}} - \frac{(-1)^n n!}{(x+2)^{n+1}} = (-1)^n n! \left[ \frac{1}{(x-2)^{n+1}} - \frac{1}{(x+2)^{n+1}} \right]$$

(9) $x^2 \sin x$の場合：

ライプニッツの公式を利用します。

$u = x^2$, $v = \sin x$とすると、

$u' = 2x$, $u'' = 2$, $u''' = 0$より、$u$の$3$階以上の導関数はすべて$0$となります。

$$v^{(n)} = \sin(x + \frac{n\pi}{2})$$

したがって、

$$(x^2 \sin x)^{(n)} = \binom{n}{0} x^2 \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + \binom{n}{1} 2x \sin(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + \binom{n}{2} 2 \sin(x + \frac{(n-2)\pi}{2})$$

$$= x^2 \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + 2nx \sin(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) \sin(x + \frac{(n-2)\pi}{2})$$

3. 最終的な答え

(7) $(xe^{2x})^{(n)} = 2^{n-1}(2x + n)e^{2x}$

(8) $(\frac{4}{x^2 - 4})^{(n)} = (-1)^n n! \left[ \frac{1}{(x-2)^{n+1}} - \frac{1}{(x+2)^{n+1}} \right]$

(9) $(x^2 \sin x)^{(n)} = x^2 \sin(x + \frac{n\pi}{2}) + 2nx \sin(x + \frac{(n-1)\pi}{2}) + n(n-1) \sin(x + \frac{(n-2)\pi}{2})$