極限 $\lim_{x \to 0} \frac{1-\frac{x^2}{2} - \cos x}{\sin^4 x}$ を求めます。

はい、承知いたしました。画像にある問題のうち、(10)の問題を解きます。

1. 問題の内容

極限 $\lim_{x \to 0} \frac{1-\frac{x^2}{2} - \cos x}{\sin^4 x}$ を求めます。

2. 解き方の手順

この極限を求めるために、ロピタルの定理またはテイラー展開を利用します。ここではテイラー展開を利用します。

$x \to 0$ のとき、$\cos x$ と $\sin x$ のテイラー展開は以下のようになります。

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots$

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$

これらを問題の式に代入します。

$1 - \frac{x^2}{2} - \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} - \left(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \frac{x^6}{720} + \dots\right) = -\frac{x^4}{24} + \frac{x^6}{720} - \dots$

$\sin^4 x = \left(x - \frac{x^3}{6} + \dots\right)^4 = x^4 \left(1 - \frac{x^2}{6} + \dots\right)^4 = x^4 - \frac{2x^6}{3} + \dots$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{1-\frac{x^2}{2} - \cos x}{\sin^4 x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^4}{24} + \frac{x^6}{720} - \dots}{x^4 - \frac{2x^6}{3} + \dots} = \lim_{x \to 0} \frac{x^4(-\frac{1}{24} + \frac{x^2}{720} - \dots)}{x^4(1 - \frac{2x^2}{3} + \dots)}$

$x^4$を約分すると、

$\lim_{x \to 0} \frac{-\frac{1}{24} + \frac{x^2}{720} - \dots}{1 - \frac{2x^2}{3} + \dots} = \frac{-\frac{1}{24}}{1} = -\frac{1}{24}$

3. 最終的な答え

$-\frac{1}{24}$