問題1：関数 $z = x^2 + 2xy + 2y^2 + 6x + 4y + 1$ の極値と、そのときの $x$ と $y$ の値を求める。 問題2：条件 $4x^2 + y^2 = 1$ のもとで関数 $z = x - y$ が極値をとる候補点と、そのときの $z$ の値をラグランジュの乗数法を用いて求める。

1. 問題の内容

問題1：関数 $z = x^2 + 2xy + 2y^2 + 6x + 4y + 1$ の極値と、そのときの $x$ と $y$ の値を求める。

問題2：条件 $4x^2 + y^2 = 1$ のもとで関数 $z = x - y$ が極値をとる候補点と、そのときの $z$ の値をラグランジュの乗数法を用いて求める。

2. 解き方の手順

問題1：

1. 偏微分を計算する：

$z_x = \frac{\partial z}{\partial x} = 2x + 2y + 6$

$z_y = \frac{\partial z}{\partial y} = 2x + 4y + 4$

2. 連立方程式 $z_x = 0$ かつ $z_y = 0$ を解く：

$2x + 2y + 6 = 0$

$2x + 4y + 4 = 0$

これらの式を解くと、

$x = -4$

$y = 1$

3. ヘッセ行列を計算する：

$z_{xx} = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = 2$

$z_{yy} = \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = 4$

$z_{xy} = \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = 2$

ヘッセ行列式は $D = z_{xx}z_{yy} - (z_{xy})^2 = 2 \cdot 4 - 2^2 = 8 - 4 = 4 > 0$

$z_{xx} = 2 > 0$ なので、点 $(-4, 1)$ で極小値をとる。

4. 極値を計算する：

$z(-4, 1) = (-4)^2 + 2(-4)(1) + 2(1)^2 + 6(-4) + 4(1) + 1 = 16 - 8 + 2 - 24 + 4 + 1 = -9$

問題2：

1. ラグランジュ関数を設定する：

$L(x, y, \lambda) = x - y - \lambda(4x^2 + y^2 - 1)$

2. 偏微分を計算する：

$L_x = \frac{\partial L}{\partial x} = 1 - 8\lambda x$

$L_y = \frac{\partial L}{\partial y} = -1 - 2\lambda y$

$L_\lambda = \frac{\partial L}{\partial \lambda} = -(4x^2 + y^2 - 1)$

3. 連立方程式 $L_x = 0$, $L_y = 0$, $L_\lambda = 0$ を解く：

$1 - 8\lambda x = 0$ $\implies x = \frac{1}{8\lambda}$

$-1 - 2\lambda y = 0$ $\implies y = -\frac{1}{2\lambda}$

$4x^2 + y^2 = 1$

4. $x$ と $y$ を代入して $\lambda$ を求める：

$4(\frac{1}{8\lambda})^2 + (-\frac{1}{2\lambda})^2 = 1$

$\frac{4}{64\lambda^2} + \frac{1}{4\lambda^2} = 1$

$\frac{1}{16\lambda^2} + \frac{1}{4\lambda^2} = 1$

$\frac{1 + 4}{16\lambda^2} = 1$

$5 = 16\lambda^2$

$\lambda^2 = \frac{5}{16}$

$\lambda = \pm \frac{\sqrt{5}}{4}$

5. $x$ と $y$ を計算する：

$\lambda = \frac{\sqrt{5}}{4}$ のとき：

$x = \frac{1}{8(\frac{\sqrt{5}}{4})} = \frac{1}{2\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{10}$

$y = -\frac{1}{2(\frac{\sqrt{5}}{4})} = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}$

$\lambda = -\frac{\sqrt{5}}{4}$ のとき：

$x = \frac{1}{8(-\frac{\sqrt{5}}{4})} = -\frac{1}{2\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{10}$

$y = -\frac{1}{2(-\frac{\sqrt{5}}{4})} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

6. $z$ の値を計算する：

$(x, y) = (\frac{\sqrt{5}}{10}, -\frac{2\sqrt{5}}{5})$ のとき：

$z = \frac{\sqrt{5}}{10} - (-\frac{2\sqrt{5}}{5}) = \frac{\sqrt{5}}{10} + \frac{4\sqrt{5}}{10} = \frac{5\sqrt{5}}{10} = \frac{\sqrt{5}}{2}$

$(x, y) = (-\frac{\sqrt{5}}{10}, \frac{2\sqrt{5}}{5})$ のとき：

$z = -\frac{\sqrt{5}}{10} - \frac{2\sqrt{5}}{5} = -\frac{\sqrt{5}}{10} - \frac{4\sqrt{5}}{10} = -\frac{5\sqrt{5}}{10} = -\frac{\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

問題1：極値は $(-4, 1)$ で $z = -9$

問題2：極値の候補点は $(\frac{\sqrt{5}}{10}, -\frac{2\sqrt{5}}{5})$ で $z = \frac{\sqrt{5}}{2}$、および $(-\frac{\sqrt{5}}{10}, \frac{2\sqrt{5}}{5})$ で $z = -\frac{\sqrt{5}}{2}$