与えられた関数を微分する問題と、n次導関数を求める問題です。 (1) $(x^2+x+1)^5$ (2) $\sin^2 x - \cos^2 x$ (3) $\sqrt{1+\sin x}$ (4) $\log(\log x)$ (5) $\log \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ (6) $\sin^{-1} \frac{2x+1}{\sqrt{5}}$ (7) $xe^{2x}$ の n次導関数 (8) $\frac{4}{x^2-4}$ の n次導関数 (9) $x^2 \sin x$ の n次導関数

1. 問題の内容

与えられた関数を微分する問題と、n次導関数を求める問題です。

(1) $(x^2+x+1)^5$

(2) $\sin^2 x - \cos^2 x$

(3) $\sqrt{1+\sin x}$

(4) $\log(\log x)$

(5) $\log \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$

(6) $\sin^{-1} \frac{2x+1}{\sqrt{5}}$

(7) $xe^{2x}$ の n次導関数

(8) $\frac{4}{x^2-4}$ の n次導関数

(9) $x^2 \sin x$ の n次導関数

2. 解き方の手順

(1) $(x^2+x+1)^5$ の微分

合成関数の微分を行います。

$\frac{d}{dx}(x^2+x+1)^5 = 5(x^2+x+1)^4 \cdot (2x+1) = (10x+5)(x^2+x+1)^4$

(2) $\sin^2 x - \cos^2 x$ の微分

$\sin^2 x - \cos^2 x = -\cos(2x)$であることから、微分は簡単になります。

$\frac{d}{dx}(\sin^2 x - \cos^2 x) = \frac{d}{dx}(-\cos(2x)) = 2\sin(2x)$

または、$\frac{d}{dx}(\sin^2 x - \cos^2 x) = 2\sin x \cos x - 2\cos x (-\sin x) = 2\sin x \cos x + 2\sin x \cos x = 4\sin x \cos x = 2\sin(2x)$

(3) $\sqrt{1+\sin x}$ の微分

合成関数の微分を行います。

$\frac{d}{dx} \sqrt{1+\sin x} = \frac{1}{2\sqrt{1+\sin x}} \cdot \cos x = \frac{\cos x}{2\sqrt{1+\sin x}}$

(4) $\log(\log x)$ の微分

合成関数の微分を行います。

$\frac{d}{dx} \log(\log x) = \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{x\log x}$

(5) $\log \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}$ の微分

対数の性質を用いて式を整理します。

$\log \sqrt{\frac{1+x}{1-x}} = \frac{1}{2} \log \frac{1+x}{1-x} = \frac{1}{2} (\log(1+x) - \log(1-x))$

$\frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{2} (\log(1+x) - \log(1-x)) \right] = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1+x} - \frac{-1}{1-x} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1-x} \right) = \frac{1}{2} \left( \frac{1-x+1+x}{(1+x)(1-x)} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{1-x^2} = \frac{1}{1-x^2}$

(6) $\sin^{-1} \frac{2x+1}{\sqrt{5}}$ の微分

$\frac{d}{dx} \sin^{-1} u = \frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \frac{du}{dx}$ を用います。

$u = \frac{2x+1}{\sqrt{5}}$, $\frac{du}{dx} = \frac{2}{\sqrt{5}}$

$\frac{d}{dx} \sin^{-1} \frac{2x+1}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{2x+1}{\sqrt{5}})^2}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{4x^2+4x+1}{5}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{1}{\sqrt{\frac{4-4x^2-4x}{5}}} \cdot \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{4-4x^2-4x}} = \frac{1}{\sqrt{1-x^2-x}}$

(7) $xe^{2x}$ の n次導関数

ライプニッツの公式を用いる

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n {}_n C_k u^{(n-k)}v^{(k)}$

$u = x, v=e^{2x}$

$u'=1, u''=0$

$v'=2e^{2x}, v''=4e^{2x}, ..., v^{(k)} = 2^k e^{2x}$

$(xe^{2x})^{(n)} = {}_n C_0 x (e^{2x})^{(n)} + {}_n C_1 (1) (e^{2x})^{(n-1)}$

$= x 2^n e^{2x} + n 2^{n-1} e^{2x} = 2^{n-1} e^{2x} (2x+n)$

(8) $\frac{4}{x^2-4}$ の n次導関数

$\frac{4}{x^2-4} = \frac{4}{(x-2)(x+2)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+2}$

$A(x+2)+B(x-2) = 4$

$x=2$ のとき $4A = 4 \implies A = 1$

$x=-2$ のとき $-4B = 4 \implies B = -1$

$\frac{4}{x^2-4} = \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x+2}$

$\frac{d^n}{dx^n} \left( \frac{1}{x-2} \right) = (-1)^n \frac{n!}{(x-2)^{n+1}}$

$\frac{d^n}{dx^n} \left( \frac{1}{x+2} \right) = (-1)^n \frac{n!}{(x+2)^{n+1}}$

$\frac{d^n}{dx^n} \left( \frac{4}{x^2-4} \right) = (-1)^n n! \left( \frac{1}{(x-2)^{n+1}} - \frac{1}{(x+2)^{n+1}} \right)$

(9) $x^2 \sin x$ の n次導関数

ライプニッツの公式を用いる

$(uv)^{(n)} = \sum_{k=0}^n {}_n C_k u^{(n-k)}v^{(k)}$

$u = x^2, v=\sin x$

$u'=2x, u''=2, u'''=0$

$v'=\cos x, v''=-\sin x, v'''=-\cos x, v''''=\sin x$

$(\sin x)^{(n)} = \sin(x + n\pi/2)$

$(x^2 \sin x)^{(n)} = {}_n C_0 x^2 (\sin x)^{(n)} + {}_n C_1 (2x) (\sin x)^{(n-1)} + {}_n C_2 (2) (\sin x)^{(n-2)}$

$= x^2 \sin(x+n\pi/2) + n (2x) \sin(x + (n-1)\pi/2) + \frac{n(n-1)}{2} (2) \sin(x+(n-2)\pi/2)$

$= x^2 \sin(x+n\pi/2) + 2nx \sin(x + (n-1)\pi/2) + n(n-1) \sin(x+(n-2)\pi/2)$

3. 最終的な答え

(1) $(10x+5)(x^2+x+1)^4$

(2) $2\sin(2x)$

(3) $\frac{\cos x}{2\sqrt{1+\sin x}}$

(4) $\frac{1}{x\log x}$

(5) $\frac{1}{1-x^2}$

(6) $\frac{1}{\sqrt{1-x^2-x}}$

(7) $2^{n-1}e^{2x}(2x+n)$

(8) $(-1)^n n! \left( \frac{1}{(x-2)^{n+1}} - \frac{1}{(x+2)^{n+1}} \right)$

(9) $x^2 \sin(x+n\pi/2) + 2nx \sin(x + (n-1)\pi/2) + n(n-1) \sin(x+(n-2)\pi/2)$