与えられた級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n-1)!!}{(-2n)^n} x^{2n}$ の収束半径を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2n-1)!!}{(-2n)^n} x^{2n}$ の収束半径を求める問題です。

2. 解き方の手順

収束半径 $R$ を求めるために、比の判定法を利用します。

まず、$a_n = \frac{(2n-1)!!}{(-2n)^n} x^{2n}$ とおきます。

ここで、$(2n-1)!! = (2n-1)(2n-3)\cdots 3 \cdot 1$ です。

比の判定法では、$\lim_{n \to \infty} |\frac{a_{n+1}}{a_n}|$ を計算します。

$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(2(n+1)-1)!!}{(-2(n+1))^{n+1}} x^{2(n+1)}}{\frac{(2n-1)!!}{(-2n)^n} x^{2n}} = \frac{(2n+1)!!}{(-2n-2)^{n+1}} x^{2n+2} \cdot \frac{(-2n)^n}{(2n-1)!!} \cdot \frac{1}{x^{2n}}$

$= \frac{(2n+1)!!}{(2n-1)!!} \cdot \frac{(-2n)^n}{(-2n-2)^{n+1}} \cdot x^2 = \frac{(2n+1)(2n-1)!!}{(2n-1)!!} \cdot \frac{(-2n)^n}{(-2n-2)^{n+1}} \cdot x^2$

$= (2n+1) \cdot \frac{(-2n)^n}{(-2n-2)^{n+1}} \cdot x^2 = (2n+1) \cdot \frac{(-2n)^n}{(-2(n+1))^{n+1}} \cdot x^2 = (2n+1) \cdot \frac{(-2n)^n}{(-2)^{n+1} (n+1)^{n+1}} \cdot x^2$

$= (2n+1) \cdot \frac{(-1)^n (2n)^n}{(-1)^{n+1} 2^{n+1} (n+1)^{n+1}} \cdot x^2 = -\frac{2n+1}{2} \cdot \frac{(2n)^n}{2^n (n+1)^{n+1}} \cdot x^2 = -\frac{2n+1}{2} \cdot \frac{2^n n^n}{2^n (n+1)^n (n+1)} \cdot x^2$

$= -\frac{2n+1}{2(n+1)} \cdot \left(\frac{n}{n+1}\right)^n \cdot x^2 = -\frac{2n+1}{2(n+1)} \cdot \left(\frac{n+1}{n}\right)^{-n} \cdot x^2$

$\lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = \lim_{n \to \infty} \left| -\frac{2n+1}{2(n+1)} \cdot \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-n} \cdot x^2 \right|$

$= \lim_{n \to \infty} \frac{2n+1}{2(n+1)} \cdot \lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{-n} \cdot |x^2|$

$= 1 \cdot e^{-1} \cdot |x^2| = \frac{|x^2|}{e}$

収束するためには、$\frac{|x^2|}{e} < 1$ である必要があります。

$|x^2| < e$

$|x| < \sqrt{e}$

したがって、収束半径 $R = \sqrt{e}$ となります。

3. 最終的な答え

収束半径は $\sqrt{e}$ です。