与えられた無限等比級数 $1 - \frac{x-1}{3} + \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(x-1)^3}{27} + \dots$ が収束するような実数 $x$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

与えられた無限等比級数 $1 - \frac{x-1}{3} + \frac{(x-1)^2}{9} - \frac{(x-1)^3}{27} + \dots$ が収束するような実数 $x$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

この無限等比級数は、初項 $a=1$、公比 $r = -\frac{x-1}{3}$ である。無限等比級数が収束するための条件は、公比 $r$ の絶対値が1より小さいこと、すなわち $|r| < 1$ である。

したがって、

$$\left| -\frac{x-1}{3} \right| < 1$$

$$\left| \frac{x-1}{3} \right| < 1$$

$$|x-1| < 3$$

$$-3 < x-1 < 3$$

各辺に 1 を足して、

$$-3 + 1 < x-1 + 1 < 3 + 1$$

$$-2 < x < 4$$

したがって、$x$ の範囲は $-2 < x < 4$ となる。

3. 最終的な答え

$-2 < x < 4$