与えられた4つの定積分の計算問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた4つの定積分の計算問題を解きます。

2. 解き方の手順

(1) $\int_{1}^{3} (x^2 + 2x + 5) dx + \int_{3}^{1} (x^2 + 2x + 5) dx$

積分区間が逆になっていることに注意します。$\int_{a}^{b} f(x) dx = - \int_{b}^{a} f(x) dx$ なので、

$\int_{1}^{3} (x^2 + 2x + 5) dx - \int_{1}^{3} (x^2 + 2x + 5) dx = 0$

(2) $\int_{0}^{1} (x^2 - x + 1) dx + \int_{1}^{2} (x^2 - x + 1) dx$

積分区間が繋がっているので、

$\int_{0}^{2} (x^2 - x + 1) dx$

$= [\frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 + x]_0^2$

$= \frac{8}{3} - \frac{4}{2} + 2 = \frac{8}{3} - 2 + 2 = \frac{8}{3}$

(3) $\int_{1}^{2} (6x + 1) dx - \int_{3}^{2} (6x + 1) dx$

$\int_{1}^{2} (6x + 1) dx + \int_{2}^{3} (6x + 1) dx$

積分区間が繋がっているので、

$\int_{1}^{3} (6x + 1) dx$

$= [3x^2 + x]_1^3 = (3(9) + 3) - (3(1) + 1) = 30 - 4 = 26$

(4) $\int_{-1}^{4} (x^2 - 2x + 3) dx - \int_{2}^{4} (x^2 - 2x + 3) dx$

$\int_{-1}^{4} (x^2 - 2x + 3) dx + \int_{4}^{2} (x^2 - 2x + 3) dx$

$= \int_{-1}^{2} (x^2 - 2x + 3) dx$

$= [\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 3x]_{-1}^2$

$= (\frac{8}{3} - 4 + 6) - (-\frac{1}{3} - 1 - 3) = \frac{8}{3} + 2 + \frac{1}{3} + 4 = \frac{9}{3} + 6 = 3 + 6 = 9$

3. 最終的な答え

(1) 0

(2) $\frac{8}{3}$

(3) 26

(4) 9