与えられた6つの関数を積分する問題です。 (1) $\int (2x+3)^7 dx$ (2) $\int x(x^2+1)^8 dx$ (3) $\int \sin^4 x \cos x dx$ (4) $\int \frac{x}{(x^2+1)^3} dx$ (5) $\int \frac{x}{x^2-x+1} dx$ (6) $\int \frac{x}{\sqrt{3+2x-x^2}} dx$

はい、承知いたしました。与えられた積分問題を解きます。

1. 問題の内容

与えられた6つの関数を積分する問題です。

(1) $\int (2x+3)^7 dx$

(2) $\int x(x^2+1)^8 dx$

(3) $\int \sin^4 x \cos x dx$

(4) $\int \frac{x}{(x^2+1)^3} dx$

(5) $\int \frac{x}{x^2-x+1} dx$

(6) $\int \frac{x}{\sqrt{3+2x-x^2}} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int (2x+3)^7 dx$

置換積分を行います。$u = 2x+3$ とすると、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2}du$ となります。

したがって、

$\int (2x+3)^7 dx = \int u^7 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^7 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^8}{8} + C = \frac{1}{16}u^8 + C = \frac{1}{16}(2x+3)^8 + C$

(2) $\int x(x^2+1)^8 dx$

置換積分を行います。$u = x^2+1$ とすると、$du = 2x dx$ より $xdx = \frac{1}{2}du$ となります。

したがって、

$\int x(x^2+1)^8 dx = \int u^8 \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^8 du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^9}{9} + C = \frac{1}{18}u^9 + C = \frac{1}{18}(x^2+1)^9 + C$

(3) $\int \sin^4 x \cos x dx$

置換積分を行います。$u = \sin x$ とすると、$du = \cos x dx$ となります。

したがって、

$\int \sin^4 x \cos x dx = \int u^4 du = \frac{u^5}{5} + C = \frac{\sin^5 x}{5} + C$

(4) $\int \frac{x}{(x^2+1)^3} dx$

置換積分を行います。$u = x^2+1$ とすると、$du = 2x dx$ より $xdx = \frac{1}{2}du$ となります。

したがって、

$\int \frac{x}{(x^2+1)^3} dx = \int \frac{1}{u^3} \cdot \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{-3} du = \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{4u^2} + C = -\frac{1}{4(x^2+1)^2} + C$

(5) $\int \frac{x}{x^2-x+1} dx$

$\int \frac{x}{x^2-x+1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x}{x^2-x+1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x-1+1}{x^2-x+1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x-1}{x^2-x+1} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2-x+1} dx$

ここで、$u = x^2-x+1$ とすると、$du = (2x-1)dx$ より、

$\frac{1}{2} \int \frac{2x-1}{x^2-x+1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} \ln |u| + C_1 = \frac{1}{2} \ln |x^2-x+1| + C_1$

また、$x^2 - x + 1 = (x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$ であるから、

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2-x+1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} dx$

ここで、$x-\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} \tan \theta$ とすると、$dx = \frac{\sqrt{3}}{2} \sec^2 \theta d\theta$ であるから、

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\frac{3}{4}\tan^2 \theta + \frac{3}{4}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \sec^2 \theta d\theta = \frac{1}{2} \int \frac{1}{\frac{3}{4}\sec^2 \theta} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \sec^2 \theta d\theta = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \int d\theta = \frac{\sqrt{3}}{3}\theta + C_2 = \frac{\sqrt{3}}{3}\arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C_2$

したがって、

$\int \frac{x}{x^2-x+1} dx = \frac{1}{2} \ln |x^2-x+1| + \frac{\sqrt{3}}{3}\arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C$

(6) $\int \frac{x}{\sqrt{3+2x-x^2}} dx$

$\int \frac{x}{\sqrt{3+2x-x^2}} dx = \int \frac{x}{\sqrt{4-(x-1)^2}} dx = \int \frac{(x-1)+1}{\sqrt{4-(x-1)^2}} dx = \int \frac{x-1}{\sqrt{4-(x-1)^2}} dx + \int \frac{1}{\sqrt{4-(x-1)^2}} dx$

ここで、$u = 4-(x-1)^2$ とすると、$du = -2(x-1)dx$ より、$(x-1)dx = -\frac{1}{2}du$ であるから、

$\int \frac{x-1}{\sqrt{4-(x-1)^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot (-\frac{1}{2}) du = -\frac{1}{2} \int u^{-\frac{1}{2}} du = -\frac{1}{2} \cdot 2u^{\frac{1}{2}} + C_1 = -\sqrt{u} + C_1 = -\sqrt{4-(x-1)^2} + C_1 = -\sqrt{3+2x-x^2} + C_1$

また、$\int \frac{1}{\sqrt{4-(x-1)^2}} dx$ において、$x-1 = 2\sin\theta$ とすると、$dx = 2\cos\theta d\theta$ であるから、

$\int \frac{1}{\sqrt{4-(x-1)^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{4-4\sin^2\theta}} \cdot 2\cos\theta d\theta = \int \frac{1}{2\cos\theta} \cdot 2\cos\theta d\theta = \int d\theta = \theta + C_2 = \arcsin(\frac{x-1}{2}) + C_2$

したがって、

$\int \frac{x}{\sqrt{3+2x-x^2}} dx = -\sqrt{3+2x-x^2} + \arcsin(\frac{x-1}{2}) + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{16}(2x+3)^8 + C$

(2) $\frac{1}{18}(x^2+1)^9 + C$

(3) $\frac{\sin^5 x}{5} + C$

(4) $-\frac{1}{4(x^2+1)^2} + C$

(5) $\frac{1}{2} \ln |x^2-x+1| + \frac{\sqrt{3}}{3}\arctan(\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C$

(6) $-\sqrt{3+2x-x^2} + \arcsin(\frac{x-1}{2}) + C$