定積分 $\int_{-1}^{1} (x-1)(x+1)^5 dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^{1} (x-1)(x+1)^5 dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

置換積分を用いて計算します。

まず、$t = x + 1$ と置換します。すると、$x = t - 1$ となり、$dx = dt$ となります。

また、積分区間も変化し、$x=-1$ のとき $t = -1+1 = 0$、$x=1$ のとき $t = 1+1 = 2$ となります。

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{2} (t-1-1)t^5 dt = \int_{0}^{2} (t-2)t^5 dt$

$= \int_{0}^{2} (t^6 - 2t^5) dt$

$= \left[ \frac{t^7}{7} - \frac{2t^6}{6} \right]_{0}^{2}$

$= \left[ \frac{t^7}{7} - \frac{t^6}{3} \right]_{0}^{2}$

$= \frac{2^7}{7} - \frac{2^6}{3} - (0-0)$

$= \frac{128}{7} - \frac{64}{3}$

$= \frac{128 \cdot 3 - 64 \cdot 7}{21}$

$= \frac{384 - 448}{21}$

$= \frac{-64}{21}$

3. 最終的な答え

$\frac{-64}{21}$