与えられた積分 $\int e^{2x} \sin x \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int e^{2x} \sin x \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を2回使うことで解けます。まず、$u = e^{2x}$、$dv = \sin x \, dx$ とおきます。すると、$du = 2e^{2x} \, dx$、$v = -\cos x$ となります。部分積分の公式 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ を適用すると、

$\int e^{2x} \sin x \, dx = -e^{2x} \cos x - \int (-\cos x) (2e^{2x}) \, dx$

$= -e^{2x} \cos x + 2 \int e^{2x} \cos x \, dx$

次に、$I = \int e^{2x} \cos x \, dx$ を計算するために、再び部分積分を使います。$u = e^{2x}$、$dv = \cos x \, dx$ とおくと、$du = 2e^{2x} \, dx$、$v = \sin x$ となります。

$I = \int e^{2x} \cos x \, dx = e^{2x} \sin x - \int (\sin x) (2e^{2x}) \, dx$

$= e^{2x} \sin x - 2 \int e^{2x} \sin x \, dx$

これを最初の式に代入すると、

$\int e^{2x} \sin x \, dx = -e^{2x} \cos x + 2(e^{2x} \sin x - 2 \int e^{2x} \sin x \, dx)$

$\int e^{2x} \sin x \, dx = -e^{2x} \cos x + 2e^{2x} \sin x - 4 \int e^{2x} \sin x \, dx$

$\int e^{2x} \sin x \, dx$ を左辺にまとめると、

$5 \int e^{2x} \sin x \, dx = -e^{2x} \cos x + 2e^{2x} \sin x$

$\int e^{2x} \sin x \, dx = \frac{1}{5} (2e^{2x} \sin x - e^{2x} \cos x) + C$

$= \frac{e^{2x}}{5}(2 \sin x - \cos x) + C$

3. 最終的な答え

$\frac{e^{2x}}{5}(2\sin x - \cos x) + C$