$\int_{0}^{\pi} x \sin 2x \, dx$ を計算してください。

1. 問題の内容

$\int_{0}^{\pi} x \sin 2x \, dx$ を計算してください。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて計算します。

部分積分の公式は、$\int u \, dv = uv - \int v \, du$ です。

$u = x$, $dv = \sin 2x \, dx$ とすると、

$du = dx$, $v = -\frac{1}{2} \cos 2x$ となります。

$\int_{0}^{\pi} x \sin 2x \, dx = \left[ x \left( -\frac{1}{2} \cos 2x \right) \right]_{0}^{\pi} - \int_{0}^{\pi} \left( -\frac{1}{2} \cos 2x \right) dx$

$= \left[ -\frac{1}{2} x \cos 2x \right]_{0}^{\pi} + \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \cos 2x \, dx$

$= \left[ -\frac{1}{2} x \cos 2x \right]_{0}^{\pi} + \frac{1}{2} \left[ \frac{1}{2} \sin 2x \right]_{0}^{\pi}$

$= \left( -\frac{1}{2} \pi \cos 2\pi - \left( -\frac{1}{2} (0) \cos 2(0) \right) \right) + \frac{1}{4} (\sin 2\pi - \sin 0)$

$= \left( -\frac{1}{2} \pi (1) - 0 \right) + \frac{1}{4} (0 - 0)$

$= -\frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$-\frac{\pi}{2}$