与えられた6つの関数を積分する問題です。 (1) $\int (2x+3)^7 dx$ (2) $\int x(x^2+1)^8 dx$ (3) $\int \sin^4 x \cos x dx$ (4) $\int \frac{x}{(x^2+1)^3} dx$ (5) $\int \frac{x}{x^2-x+1} dx$ (6) $\int \frac{x}{\sqrt{3+2x-x^2}} dx$

1. 問題の内容

与えられた6つの関数を積分する問題です。

(1) $\int (2x+3)^7 dx$

(2) $\int x(x^2+1)^8 dx$

(3) $\int \sin^4 x \cos x dx$

(4) $\int \frac{x}{(x^2+1)^3} dx$

(5) $\int \frac{x}{x^2-x+1} dx$

(6) $\int \frac{x}{\sqrt{3+2x-x^2}} dx$

2. 解き方の手順

(1)

置換積分を行います。$u = 2x+3$ とすると、$du = 2dx$ より $dx = \frac{1}{2}du$。

$\int (2x+3)^7 dx = \int u^7 \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^7 du = \frac{1}{2} \frac{u^8}{8} + C = \frac{1}{16}u^8 + C = \frac{1}{16}(2x+3)^8 + C$

(2)

置換積分を行います。$u = x^2+1$ とすると、$du = 2x dx$ より $x dx = \frac{1}{2}du$。

$\int x(x^2+1)^8 dx = \int u^8 \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^8 du = \frac{1}{2} \frac{u^9}{9} + C = \frac{1}{18}u^9 + C = \frac{1}{18}(x^2+1)^9 + C$

(3)

置換積分を行います。$u = \sin x$ とすると、$du = \cos x dx$。

$\int \sin^4 x \cos x dx = \int u^4 du = \frac{u^5}{5} + C = \frac{1}{5}\sin^5 x + C$

(4)

置換積分を行います。$u = x^2+1$ とすると、$du = 2x dx$ より $x dx = \frac{1}{2}du$。

$\int \frac{x}{(x^2+1)^3} dx = \int \frac{1}{u^3} \frac{1}{2} du = \frac{1}{2} \int u^{-3} du = \frac{1}{2} \frac{u^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{4u^2} + C = -\frac{1}{4(x^2+1)^2} + C$

(5)

$\int \frac{x}{x^2-x+1} dx = \int \frac{\frac{1}{2}(2x-1) + \frac{1}{2}}{x^2-x+1} dx = \frac{1}{2} \int \frac{2x-1}{x^2-x+1} dx + \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2-x+1} dx$

第一項は、$u = x^2-x+1$ とすると、$du = (2x-1) dx$ より

$\frac{1}{2} \int \frac{du}{u} = \frac{1}{2} \ln |u| + C_1 = \frac{1}{2} \ln |x^2-x+1| + C_1$

第二項は、平方完成して、$x^2-x+1 = (x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$ となるので、

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{(x-\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2} dx = \frac{1}{2} \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \arctan \frac{x-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} + C_2 = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2x-1}{\sqrt{3}} + C_2$

よって、$\int \frac{x}{x^2-x+1} dx = \frac{1}{2} \ln (x^2-x+1) + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2x-1}{\sqrt{3}} + C$

(6)

$\int \frac{x}{\sqrt{3+2x-x^2}} dx = \int \frac{x}{\sqrt{4-(x-1)^2}} dx = \int \frac{(x-1)+1}{\sqrt{4-(x-1)^2}} dx = \int \frac{x-1}{\sqrt{4-(x-1)^2}} dx + \int \frac{1}{\sqrt{4-(x-1)^2}} dx$

第一項は、$u = 4-(x-1)^2$ とすると、$du = -2(x-1) dx$ より $(x-1)dx = -\frac{1}{2}du$。

$\int \frac{x-1}{\sqrt{4-(x-1)^2}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{u}} (-\frac{1}{2}) du = -\frac{1}{2} \int u^{-1/2} du = -\frac{1}{2} \frac{u^{1/2}}{1/2} + C_1 = -\sqrt{u} + C_1 = -\sqrt{4-(x-1)^2} + C_1 = -\sqrt{3+2x-x^2} + C_1$

第二項は、$\int \frac{1}{\sqrt{4-(x-1)^2}} dx = \arcsin \frac{x-1}{2} + C_2$

よって、$\int \frac{x}{\sqrt{3+2x-x^2}} dx = -\sqrt{3+2x-x^2} + \arcsin \frac{x-1}{2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{16}(2x+3)^8 + C$

(2) $\frac{1}{18}(x^2+1)^9 + C$

(3) $\frac{1}{5}\sin^5 x + C$

(4) $-\frac{1}{4(x^2+1)^2} + C$

(5) $\frac{1}{2} \ln (x^2-x+1) + \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \frac{2x-1}{\sqrt{3}} + C$

(6) $-\sqrt{3+2x-x^2} + \arcsin \frac{x-1}{2} + C$