定積分 $\int_{-1}^2 (x+1)^2(x-2)^3 dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{-1}^2 (x+1)^2(x-2)^3 dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$(x+1)^2$ と $(x-2)^3$ を展開します。

$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$

$(x-2)^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$

次に、$(x+1)^2(x-2)^3$ を展開します。

\begin{align*} (x+1)^2(x-2)^3 &= (x^2 + 2x + 1)(x^3 - 6x^2 + 12x - 8) \\ &= x^5 - 6x^4 + 12x^3 - 8x^2 + 2x^4 - 12x^3 + 24x^2 - 16x + x^3 - 6x^2 + 12x - 8 \\ &= x^5 - 4x^4 + x^3 + 10x^2 - 4x - 8 \end{align*}

したがって、

$\int_{-1}^2 (x+1)^2(x-2)^3 dx = \int_{-1}^2 (x^5 - 4x^4 + x^3 + 10x^2 - 4x - 8) dx$

各項を積分します。

\begin{align*} \int_{-1}^2 (x^5 - 4x^4 + x^3 + 10x^2 - 4x - 8) dx &= \left[ \frac{x^6}{6} - \frac{4x^5}{5} + \frac{x^4}{4} + \frac{10x^3}{3} - 2x^2 - 8x \right]_{-1}^2 \\ &= \left( \frac{2^6}{6} - \frac{4(2^5)}{5} + \frac{2^4}{4} + \frac{10(2^3)}{3} - 2(2^2) - 8(2) \right) - \left( \frac{(-1)^6}{6} - \frac{4(-1)^5}{5} + \frac{(-1)^4}{4} + \frac{10(-1)^3}{3} - 2(-1)^2 - 8(-1) \right) \\ &= \left( \frac{64}{6} - \frac{128}{5} + \frac{16}{4} + \frac{80}{3} - 8 - 16 \right) - \left( \frac{1}{6} + \frac{4}{5} + \frac{1}{4} - \frac{10}{3} - 2 + 8 \right) \\ &= \left( \frac{32}{3} - \frac{128}{5} + 4 + \frac{80}{3} - 24 \right) - \left( \frac{1}{6} + \frac{4}{5} + \frac{1}{4} - \frac{10}{3} + 6 \right) \\ &= \left( \frac{112}{3} - \frac{128}{5} - 20 \right) - \left( \frac{1}{6} + \frac{4}{5} + \frac{1}{4} - \frac{10}{3} + 6 \right) \\ &= \left( \frac{560 - 384 - 300}{15} \right) - \left( \frac{10 + 48 + 15 - 200 + 360}{60} \right) \\ &= \frac{-124}{15} - \frac{233}{60} \\ &= \frac{-496 - 233}{60} \\ &= \frac{-729}{60} = \frac{-243}{20} \end{align*}

3. 最終的な答え

$-\frac{243}{20}$