$\int x^2 \log x \, dx$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

$\int x^2 \log x \, dx$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

この積分は部分積分を用いて解きます。部分積分の公式は $\int u \, dv = uv - \int v \, du$ です。

$u = \log x$ と $dv = x^2 \, dx$ とおくと、

$du = \frac{1}{x} \, dx$ と $v = \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$ となります。

したがって、

$\int x^2 \log x \, dx = \log x \cdot \frac{x^3}{3} - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx$

$= \frac{x^3}{3} \log x - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx$

$= \frac{x^3}{3} \log x - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + C$

$= \frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + C$

3. 最終的な答え

$\frac{x^3}{3} \log x - \frac{x^3}{9} + C$