次の微分方程式の解 $y = y(t)$ をラプラス変換を用いて求める問題です。 微分方程式: $y'' - 3y' + 2y = e^{2t}$ 初期条件: $y(0) = 2$, $y'(0) = 4$ ラプラス変換の関係式: $\mathcal{L}[y''] = s^2 \mathcal{L}[y] - sy(0) - y'(0)$ $\mathcal{L}[y'] = s \mathcal{L}[y] - y(0)$ $\mathcal{L}[t^n e^{\alpha t}] = \frac{n!}{(s-\alpha)^{n+1}}$

1. 問題の内容

次の微分方程式の解 $y = y(t)$ をラプラス変換を用いて求める問題です。

微分方程式: $y'' - 3y' + 2y = e^{2t}$

初期条件: $y(0) = 2$, $y'(0) = 4$

ラプラス変換の関係式:

$\mathcal{L}[y''] = s^2 \mathcal{L}[y] - sy(0) - y'(0)$

$\mathcal{L}[y'] = s \mathcal{L}[y] - y(0)$

$\mathcal{L}[t^n e^{\alpha t}] = \frac{n!}{(s-\alpha)^{n+1}}$

2. 解き方の手順

(1) 与えられた微分方程式の両辺をラプラス変換します。$\mathcal{L}[y] = Y(s)$ とおきます。

$\mathcal{L}[y'' - 3y' + 2y] = \mathcal{L}[e^{2t}]$

$\mathcal{L}[y''] - 3\mathcal{L}[y'] + 2\mathcal{L}[y] = \mathcal{L}[e^{2t}]$

(2) ラプラス変換の関係式と初期条件を代入します。

$(s^2 Y(s) - sy(0) - y'(0)) - 3(sY(s) - y(0)) + 2Y(s) = \frac{0!}{(s-2)^{0+1}}$

$(s^2 Y(s) - 2s - 4) - 3(sY(s) - 2) + 2Y(s) = \frac{1}{s-2}$

$s^2 Y(s) - 2s - 4 - 3sY(s) + 6 + 2Y(s) = \frac{1}{s-2}$

$(s^2 - 3s + 2)Y(s) - 2s + 2 = \frac{1}{s-2}$

(3) $Y(s)$ について解きます。

$(s^2 - 3s + 2)Y(s) = \frac{1}{s-2} + 2s - 2$

$(s-1)(s-2)Y(s) = \frac{1 + (2s-2)(s-2)}{s-2}$

$(s-1)(s-2)Y(s) = \frac{1 + 2s^2 - 6s + 4}{s-2}$

$(s-1)(s-2)Y(s) = \frac{2s^2 - 6s + 5}{s-2}$

$Y(s) = \frac{2s^2 - 6s + 5}{(s-1)(s-2)^2}$

(4) $Y(s)$ を部分分数分解します。

$\frac{2s^2 - 6s + 5}{(s-1)(s-2)^2} = \frac{A}{s-1} + \frac{B}{s-2} + \frac{C}{(s-2)^2}$

$2s^2 - 6s + 5 = A(s-2)^2 + B(s-1)(s-2) + C(s-1)$

$2s^2 - 6s + 5 = A(s^2 - 4s + 4) + B(s^2 - 3s + 2) + C(s-1)$

$2s^2 - 6s + 5 = (A+B)s^2 + (-4A-3B+C)s + (4A+2B-C)$

係数を比較して、

$A+B = 2$

$-4A-3B+C = -6$

$4A+2B-C = 5$

この連立方程式を解きます。最初の式から $B = 2-A$。

$-4A - 3(2-A) + C = -6$

$-4A - 6 + 3A + C = -6$

$-A + C = 0 \implies C = A$

$4A + 2(2-A) - A = 5$

$4A + 4 - 2A - A = 5$

$A = 1$

したがって、$B = 2-1 = 1$, $C = 1$

$Y(s) = \frac{1}{s-1} + \frac{1}{s-2} + \frac{1}{(s-2)^2}$

(5) 逆ラプラス変換を行います。

$y(t) = \mathcal{L}^{-1}[Y(s)] = \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s-1} + \frac{1}{s-2} + \frac{1}{(s-2)^2}\right]$

$y(t) = \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s-1}\right] + \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{s-2}\right] + \mathcal{L}^{-1}\left[\frac{1}{(s-2)^2}\right]$

$y(t) = e^t + e^{2t} + te^{2t}$

3. 最終的な答え

$y(t) = e^t + e^{2t} + te^{2t}$