与えられた関数 $f(x, y) = x^{\frac{1}{4}}y - x^{\frac{1}{3}}y$ の二階偏導関数 $f_{x}$, $f_{y}$, $f_{xx}$, $f_{yy}$, $f_{xy}$, $f_{yx}$ を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y) = x^{\frac{1}{4}}y - x^{\frac{1}{3}}y$ の二階偏導関数 $f_{x}$, $f_{y}$, $f_{xx}$, $f_{yy}$, $f_{xy}$, $f_{yx}$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

* **$f_x$ の計算:**

$f(x, y)$ を $x$ で偏微分します。

$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1}y - \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1}y = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}y - \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}y$

* **$f_y$ の計算:**

$f(x, y)$ を $y$ で偏微分します。

$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = x^{\frac{1}{4}} - x^{\frac{1}{3}}$

* **$f_{xx}$ の計算:**

$f_x$ を $x$ で偏微分します。

$f_{xx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}y - \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}y) = \frac{1}{4}(-\frac{3}{4})x^{-\frac{3}{4}-1}y - \frac{1}{3}(-\frac{2}{3})x^{-\frac{2}{3}-1}y = -\frac{3}{16}x^{-\frac{7}{4}}y + \frac{2}{9}x^{-\frac{5}{3}}y$

* **$f_{yy}$ の計算:**

$f_y$ を $y$ で偏微分します。

$f_{yy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = \frac{\partial}{\partial y} (x^{\frac{1}{4}} - x^{\frac{1}{3}}) = 0$

* **$f_{xy}$ の計算:**

$f_x$ を $y$ で偏微分します。

$f_{xy} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}y - \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}y) = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} - \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$

* **$f_{yx}$ の計算:**

$f_y$ を $x$ で偏微分します。

$f_{yx} = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x} (x^{\frac{1}{4}} - x^{\frac{1}{3}}) = \frac{1}{4}x^{\frac{1}{4}-1} - \frac{1}{3}x^{\frac{1}{3}-1} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} - \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$

3. 最終的な答え

$f_x = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}}y - \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}y$

$f_y = x^{\frac{1}{4}} - x^{\frac{1}{3}}$

$f_{xx} = -\frac{3}{16}x^{-\frac{7}{4}}y + \frac{2}{9}x^{-\frac{5}{3}}y$

$f_{yy} = 0$

$f_{xy} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} - \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$

$f_{yx} = \frac{1}{4}x^{-\frac{3}{4}} - \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}$