実数 $x$ に対して、無限級数 $$ x + \frac{x}{1+x-x^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^3} + \dots $$ の和を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $x$ に対して、無限級数

$$x + \frac{x}{1+x-x^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^2} + \frac{x}{(1+x-x^2)^3} + \dots$$

の和を求めよ。

2. 解き方の手順

この級数は、初項が $\frac{x}{1+x-x^2}$、公比が $\frac{1}{1+x-x^2}$ の無限等比級数である。

したがって、この等比級数の和は、

$$\frac{\frac{x}{1+x-x^2}}{1-\frac{1}{1+x-x^2}}$$

である。

分母を整理すると、

$$1 - \frac{1}{1+x-x^2} = \frac{1+x-x^2-1}{1+x-x^2} = \frac{x-x^2}{1+x-x^2}$$

となる。

したがって、等比級数の和は、

$$\frac{\frac{x}{1+x-x^2}}{\frac{x-x^2}{1+x-x^2}} = \frac{x}{x-x^2} = \frac{x}{x(1-x)} = \frac{1}{1-x}$$

となる。

したがって、求める無限級数の和は、

$$x + \frac{1}{1-x}$$

である。これを整理すると、

$$x + \frac{1}{1-x} = \frac{x(1-x)+1}{1-x} = \frac{x-x^2+1}{1-x} = \frac{-x^2+x+1}{1-x}$$

となる。

ただし、等比級数が収束するためには、公比の絶対値が1より小さい必要がある。

すなわち、

$$\left| \frac{1}{1+x-x^2} \right| < 1$$

が必要である。

これは、

$$|1+x-x^2| > 1$$

を意味する。

この不等式は、

$1+x-x^2 > 1$ または $1+x-x^2 < -1$

と同値である。

すなわち、$x-x^2 > 0$ または $2+x-x^2 < 0$

である。

$x(1-x) > 0$ より $0 < x < 1$

$x^2 - x - 2 > 0$ より $(x-2)(x+1) > 0$ なので $x < -1$ または $x > 2$

したがって、$x \in (-\infty, -1) \cup (0, 1) \cup (2, \infty)$

3. 最終的な答え

$\frac{-x^2+x+1}{1-x}$