無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3 \cdot 2^n + 2(-3)^n}{5^n}$ の和を求めます。

1. 問題の内容

無限級数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3 \cdot 2^n + 2(-3)^n}{5^n}$ の和を求めます。

2. 解き方の手順

まず、与えられた無限級数を2つの級数に分割します。

$$$$

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3 \cdot 2^n + 2(-3)^n}{5^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{3 \cdot 2^n}{5^n} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-3)^n}{5^n}

$$$$

次に、それぞれの級数を書き換えます。

$$$$

= 3 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{5}\right)^n + 2 \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{-3}{5}\right)^n

$$$$

これは2つの等比級数の和です。 等比級数 $\sum_{n=1}^{\infty} ar^{n-1}$ の和は $|r|<1$ のとき $\frac{a}{1-r}$ で与えられます。 よって、 $\sum_{n=1}^{\infty} r^n = \frac{r}{1-r}$となります。

それぞれの級数について、$\frac{2}{5}$ と $\frac{-3}{5}$ の絶対値は1より小さいので、等比級数の公式が適用できます。

最初の級数の和は

$$$$

\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{5}\right)^n = \frac{\frac{2}{5}}{1-\frac{2}{5}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{3}{5}} = \frac{2}{3}

$$$$

2番目の級数の和は

$$$$

\sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{-3}{5}\right)^n = \frac{\frac{-3}{5}}{1-\frac{-3}{5}} = \frac{\frac{-3}{5}}{\frac{8}{5}} = \frac{-3}{8}

$$$$

したがって、元の級数の和は

$$$$

3 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{-3}{8} = 2 - \frac{3}{4} = \frac{8}{4} - \frac{3}{4} = \frac{5}{4}

$$$$

3. 最終的な答え

$\frac{5}{4}$