与えられた積分 $\int_0^1 \log(1+x^2) \, dx$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた積分 $\int_0^1 \log(1+x^2) \, dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

部分積分を用いて解きます。

$u = \log(1+x^2)$ および $dv = dx$ とおくと、

$du = \frac{2x}{1+x^2} dx$ および $v = x$ となります。

したがって、

$\int_0^1 \log(1+x^2) \, dx = \left[ x \log(1+x^2) \right]_0^1 - \int_0^1 x \cdot \frac{2x}{1+x^2} \, dx = \left[ x \log(1+x^2) \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{2x^2}{1+x^2} \, dx$

$\left[ x \log(1+x^2) \right]_0^1 = 1 \cdot \log(1+1^2) - 0 \cdot \log(1+0^2) = \log 2$

$\int_0^1 \frac{2x^2}{1+x^2} \, dx = \int_0^1 \frac{2(x^2+1-1)}{1+x^2} \, dx = \int_0^1 \frac{2(x^2+1)}{1+x^2} - \frac{2}{1+x^2} \, dx = \int_0^1 2 - \frac{2}{1+x^2} \, dx = \left[ 2x - 2 \arctan(x) \right]_0^1 = (2(1) - 2 \arctan(1)) - (2(0) - 2 \arctan(0)) = 2 - 2(\frac{\pi}{4}) = 2 - \frac{\pi}{2}$

よって、

$\int_0^1 \log(1+x^2) \, dx = \log 2 - (2 - \frac{\pi}{2}) = \log 2 - 2 + \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$\log 2 - 2 + \frac{\pi}{2}$