与えられた広義積分が収束するかどうかを調べ、収束する場合はその値を求める。 (1) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x(x+2)} dx$ (2) $\int_{0}^{1} \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

1. 問題の内容

与えられた広義積分が収束するかどうかを調べ、収束する場合はその値を求める。

(1) $\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x(x+2)} dx$

(2) $\int_{0}^{1} \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

2. 解き方の手順

(1)

まず、被積分関数を部分分数分解する。

$\frac{1}{x(x+2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x+2}$

$1 = A(x+2) + Bx$

$1 = (A+B)x + 2A$

よって、$A+B = 0$ かつ $2A = 1$。

したがって、$A = \frac{1}{2}$、$B = -\frac{1}{2}$。

$\frac{1}{x(x+2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} \right)$

したがって、

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{x(x+2)} dx = \frac{1}{2} \int_{1}^{\infty} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} \right) dx$

$= \frac{1}{2} \lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{x+2} \right) dx$

$= \frac{1}{2} \lim_{t \to \infty} \left[ \ln|x| - \ln|x+2| \right]_{1}^{t}$

$= \frac{1}{2} \lim_{t \to \infty} \left[ \ln\left| \frac{x}{x+2} \right| \right]_{1}^{t}$

$= \frac{1}{2} \lim_{t \to \infty} \left( \ln\left( \frac{t}{t+2} \right) - \ln\left( \frac{1}{3} \right) \right)$

$= \frac{1}{2} \left( \ln(1) - \ln\left( \frac{1}{3} \right) \right)$

$= \frac{1}{2} (0 - (-\ln 3)) = \frac{1}{2} \ln 3$

(2)

$u = \arcsin x$ と置換すると、$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$

$x = 0$ のとき、$u = \arcsin 0 = 0$

$x = 1$ のとき、$u = \arcsin 1 = \frac{\pi}{2}$

$\int_{0}^{1} \frac{\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} u du$

$= \left[ \frac{1}{2} u^2 \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\pi}{2} \right)^2 - 0 = \frac{\pi^2}{8}$

3. 最終的な答え

(1) 収束し、$\frac{1}{2} \ln 3$

(2) 収束し、$\frac{\pi^2}{8}$